1、问题引入
一个有n个顶点的有向图的传递闭包为：有向图中的初始路径可达情况可以参见其邻接矩阵A，邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达，若直接可达，则A[i,j]记为1，否则记为0；两个有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点（或者不经过其他点）能够到达j点，如果i到j有路径，则将T[i,j]设置为1，否则设置为0；有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发，求的所有节点间的路径可达情况，该矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。。。
例如：
有向图为：
由该有向图可以得到初始的邻接矩阵为：
那么warshall传递闭包算法的目的就是由邻接矩阵出发，进行探索求出最终的传递闭包：
2、动态规划求解思路
动态规划将问题分段，本例warshall算法是通过一系列n阶矩阵r（k）来构造最终阶段n阶传递闭包矩阵r（n）
R(k) 由它的前趋 R(k-1) 计算得到（分级推进计算）。 R(0) ——该矩阵不允许它的路径中包含任何中间顶点，即从该矩阵的任意顶点出发的路径不含有中间顶点，此即邻接矩阵。 R(1) ——允许路径中包含第1个顶点（本例编号 1）作为中间顶点。 R(2) ——允许路径中包含前2个顶点（本例编号1 2）作为中间顶点。 R(k) ——允许路径中包含前k个顶点作为中间顶点。 R(n) ——允许路径中包含全部 n 个顶点作为中间顶点。 每个后继矩阵 R(k) 对其前趋 R(k-1) 来说，在路径上允许增加一个顶点， 因此有可能包含更多的1（增加前为1的在增加后依然为1）。 3、具体的算法描述 warshall（A[1...n,1...n] r(0)<-A; for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or(r(k-1)[i,k] and r(k-1)[k,j]); return r(n);4、具体实现代码如下 说明：（1）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵存储在2.txt中（具体如下图），其中4表示有向图中有4 个顶点，其他表示初始邻接矩阵。
（2）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵个数可以随意更改，，，，
具体代码：
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> void Warshall(int,int**); void main() { int i,j,num; FILE*p; p=fopen("2.txt","r"); if(p==NULL) { printf("cannot open 2.txt"); exit(-1); } fscanf(p,"%d",&num); int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1)); for(i=0;i<num+1;i++) r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1)); for(i=1;i<num+1;i++) for(j=1;j<num+1;j++) fscanf(p,"%d",&r[i][j]); printf("顶点个数为：%d\n",num); printf("邻接矩阵为：\n"); for(i=1;i<num+1;i++) { for(j=1;j<num+1;j++) printf(" %d ",r[i][j]); printf("\n"); } Warshall(num,r); printf("最终的传递闭包为\n"); for(i=1;i<num+1;i++) { for(j=1;j<num+1;j++) printf(" %d ",r[i][j]); printf("\n"); } } //三重循环实现的warshall算法 //r为邻接矩阵，中间存储初试的可达与非可达路径情况，1表示可达，0表示不可达 void Warshall(int num,int**r) { int i,j,k; int **temp=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1)); for(i=0;i<num+1;i++) temp[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1)); for(k=1;k<=num;k++)//依次取得的可以作为中间点的顶点 { for(i=1;i<=num;i++) { for(j=1;j<=num;j++) { temp[i][j]=(r[i][j])||(r[i][k]&r[k][j]); } } for(i=1;i<=num;i++) for(j=1;j<=num;j++) r[i][j]=temp[i][j]; } }5、结果如下：
6、参考文献
（1）算法导论
（2）数据结构 严蔚敏
