已知 a , b > 0 a,b>0 a,b>0，求 b 2 + 2 a + b + a 2 a b + 1 {b^2+2\over a+b}+{a^2\over ab+1} a+bb2+2+ab+1a2最小值。
先利用权方和不等式放缩到对称形式 原 式 = b 2 + 2 a + b + a 2 a b + 1 = b 2 a + b + a 2 a b + 1 + 2 a + b ≥ ( a + b ) 2 a + b + a b + 1 + 2 a + b 原式\\={b^2+2\over a+b}+{a^2\over ab+1}\\={b^2\over a+b}+{a^2\over ab+1}+{2\over a+b}\\ \ge {(a+b)^2\over a+b+ab+1}+{2\over a+b} 原式=a+bb2+2+ab+1a2=a+bb2+ab+1a2+a+b2≥a+b+ab+1(a+b)2+a+b2 再想办法化成 a + b a+b a+b的一元函数 原 式 ≥ 上 式 = ( a + b ) 2 ( a + 1 ) ( b + 1 ) + 2 a + b ≥ ( a + b ) 2 ( a + 1 + b + 1 2 ) 2 + 2 a + b 原式\ge 上式\\={(a+b)^2\over (a+1)(b+1)}+{2\over a+b}\\ \ge {(a+b)^2\over ({a+1 + b+1\over 2})^2}+{2\over a+b} 原式≥上式=(a+1)(b+1)(a+b)2+a+b2≥(2a+1+b+1)2(a+b)2+a+b2 定义 2 t = a + b 2t=a+b 2t=a+b，再对一元函数求最值(其实求导就可以解决，但是这里直接放缩) 原 式 ≥ 上 式 = 4 t 2 ( t + 1 ) 2 + 1 t = 4 t 3 + ( t + 1 ) 2 t ( t + 1 ) 2 = 2 t 3 − 1 + ( t + 1 ) 2 + ( t 3 + t 3 + 1 ) t ( t + 1 ) 2 ≥ 2 t 3 − 1 + ( t + 1 ) 2 + 3 t 2 t ( t + 1 ) 2 = 2 t 3 + 4 t 2 + 2 t t ( t + 1 ) 2 = 2 原式\ge 上式\\={4t^2\over (t+1)^2}+{1\over t}\\={4t^3+(t+1)^2\over t(t+1)^2}\\={2t^3-1+(t+1)^2+(t^3+t^3+1)\over t(t+1)^2}\\ \ge {2t^3-1+(t+1)^2+3t^2\over t(t+1)^2}\\={2t^3+4t^2+2t\over t(t+1)^2}\\=2 原式≥上式=(t+1)24t2+t1=t(t+1)24t3+(t+1)2=t(t+1)22t3−1+(t+1)2+(t3+t3+1)≥t(t+1)22t3−1+(t+1)2+3t2=t(t+1)22t3+4t2+2t=2 以上的每一步放缩的等号成立条件分别是 a = b a b + 1 = a + b a + 1 = b + 1 a + b = 2 t = 2 a=b\\ab+1=a+b\\a+1=b+1\\a+b=2t=2 a=bab+1=a+ba+1=b+1a+b=2t=2 即等号成立条件是 a = b = 1 a=b=1 a=b=1，等号可以取到。 故原式最小值为2
因为 ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) ≥ ( a b + 1 ) 2 ( a 2 + 1 ) ( 1 + b 2 ) ≥ ( a + b ) 2 (a^2+1)(b^2+1)\ge(ab+1)^2\\ (a^2+1)(1+b^2)\ge(a+b)^2 (a2+1)(b2+1)≥(ab+1)2(a2+1)(1+b2)≥(a+b)2 所以 b 2 + 2 a + b + a 2 a b + 1 ≥ b 2 + 2 ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) + a 2 ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) ≥ ( a 2 + 1 ) + ( b 2 + 1 ) ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) ≥ 2 {b^2+2\over a+b}+{a^2\over ab+1}\ge{b^2+2\over \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}+{a^2\over \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}\ge{(a^2+1)+(b^2+1)\over \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}\ge 2 a+bb2+2+ab+1a2≥(a2+1)(b2+1) b2+2+(a2+1)(b2+1) a2≥(a2+1)(b2+1) (a2+1)+(b2+1)≥2 等号成立条件是 a = b = 1 a=b=1 a=b=1，等号可以取到。
故原式最小值为2
