最近阅读了Mikolov两篇关于word2vec的论文，结合Goldberg对这两篇论文的解读，作如下概述。
概述 在较早的论文“Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space”中，Mikolov讨论了Feedforward Neural Net Language Model (NNLM)、Recurrent Neural Net Language Model (RNNLM)以及论文中描述的两个新模型Continuous Bag-of-Words Model （CBOW）和Continuous Skip-gram Model (Skip-gram).
NNLM是最早提出的前馈神经网络模型，模型由输入层（input）、映射层（projection）、隐藏层（hidden）和输出层（output）构成，其中主要的计算瓶颈是映射曾到隐藏层的转换；RNNLM克服了NNLM的部分局限性，比如无需指定语境的长度。RNN没有映射层，只有输入、隐藏、输出三层。至此，神经网络语言模型的性能瓶颈集中在了非线性的隐藏层中。
为了提升计算效率，作者提出了CBOW和Skip-gram。其中CBWM去除了隐藏层，并让输入层的所有单词共享映射层。从图一左可以看到，CBOW使用围绕目标单词的其他单词（语境）作为输入，在映射层做加权处理后输出目标单词。
区别于CBOW根据语境预测目标单词，Skip-gram根据当前单词预测语境，如图一右所示。在“
Distributed Representations of Words and Phrases and their Compositionality
”中，作者对Skip-gram做了进一步的论述和扩展。本文详细描述Skip-gram的原理及扩展。
定义及符号
文本集合（Text）：
T
单词（word）：
w，使用长度为d的列向量表示
语境（context）:以单词
w
为中心，向前k个单词，向后k个单词所形成的短语中包含的单词
模型参数：
θ
条件概率p(
c
|
w
)：当
w
出现时，某一语境
c
出现的概率
C(
w
)：在文本集合
T
中，单词
w
出现过的语境包含的单词的集合
语境中的单词
c，使用长度为d的列向量表示
c
∈
C(
w
)
c和
w
均表示单词，但作者认为，即使对于同一个单词，比如apple，它作为普通单词和作为语境中的单词是的向量表示是不同的，因此使用不同的符号来表示语境中的单词和普通单词。
V：文本集合对应的词汇表
D：所有单词
w
和它的语境
C(
w
)
构成的组合的集合
Skip-gram Skip-gram的目标是寻找参数集合
θ来最大化如下条件概率的乘积：
等同于下式：
作者使用了逻辑回归的扩展Softmax [4] 对
θ
进行形式化处理，使得条件概率转化为下式：
其中vc和vw分别是
c
和
w
的列向量，维度为d。
C
是所有语境中的单词构成的集合，等同于词汇表V。参数
θ
就是vc和vw中每一维度的具体取值，参数的总数为|C|
×|V|×
d
。将式3代入式2，并于等式两边取对数可得：
作者认为，通过训练得到的单词的向量表示vw能够使得条件概率p(c|w)最大化，则vw是w的好的表示。这里潜在的基本假设是：相似的单词拥有相似的语境。换言之，特定的语境只有确定的语义才能够与之匹配。通过最大化条件概率，使得单词和语境之间的对应关系最大化，进而满足了基本假设：相似的单词拥有相似的语境。而满足条件概率最大化的单词矢量，也就成为了单词语义的合理表示。
从式3可以发现，由于条件概率
p(
c
|
w
)的分母计算需要很大代价，作者使用hierarchical softmax来近似softmax，并用霍夫曼树来构建hierachical softmax.
Negative Sampling 另一种降低计算代价的方法是改变目标函数。对于一个单词、语境组合（
w,
c
），使用p(D=1|
w,
c
)来表示这个组合存在于
T
中的概率，对应的
p(D=0|
w,
c
) = 1-
p(D=1|
w,
c
)
，表示
（
w,
c
）不在
T
中的概率。与前文类似，假设集合
θ是控制
p(D=1|
w,
c
)分布的参数，那么此时的目标是寻找参数集合θ来最大化
（
w,
c
）存在于
T
中的概率：
同样，使用softmax来量化p(D=1|
w,
c;
θ
)：
因此，最终的目标函数为：
为了使目标函数最大化，有一个很简单的方法，即使得vc=vw,且vc·vw=K。当K足够大时，可以得到
p(D=1|
w,
c
)=1，从而达到目标函数最大化。因此，为了所有的矢量有相同的值，作者生成了一个数据集D'，D'中的所有单词、语境组合都不存在于
T
中，这些样例被称之为反例（negative examples）,而获得反例的采样方法被称之为反例采集（negative-sampling）。引进了反例之后的目标函数演变为：
假设σ(x)=1/(1+e-x)，则：
和式4进行比较，可以明显的看到累加嵌套的消除。两者最大的区别是式4根据条件概率
p(
c
|
w
)进行建模而此处根据联合概率
p(D=1|
w,
c
)进行建模
参考文献
Efficient Estimation of Word Representations in Vector SpaceDistributed Representations of Words and Phrases and their Compositionalityword2Vec Explained: Deriving Mikolov et al.'s Negative-Sampling Word-Embedding MethodSoftmax Regression, www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/22/2975978.html
