6.1 什么是图

6.1.1 定义

图的定义：表示多对多的关系

抽象数据类型定义

怎么在程序中表示一个图：邻接矩阵和邻接表。

6.1.2 邻接矩阵表示法

定义

邻接矩阵的优点：

邻接矩阵的缺点：

C 语言实现

/* 图的邻接矩阵表示法 */ #define MaxVertexNum 100 /* 最大顶点数设为100 */ #define INFINITY 65535 /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/ typedef int Vertex; /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */ typedef int WeightType; /* 边的权值设为整型 */ typedef char DataType; /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */ /* 边的定义 */ typedef struct ENode *PtrToENode; struct ENode{ Vertex V1, V2; /* 有向边<V1, V2> */ WeightType Weight; /* 权重 */ }; typedef PtrToENode Edge; /* 图结点的定义 */ typedef struct GNode *PtrToGNode; struct GNode{ int Nv; /* 顶点数 */ int Ne; /* 边数 */ WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */ DataType Data[MaxVertexNum]; /* 存顶点的数据 */ /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 */ }; typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */ MGraph CreateGraph( int VertexNum ) { /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */ Vertex V, W; MGraph Graph; Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */ Graph->Nv = VertexNum; Graph->Ne = 0; /* 初始化邻接矩阵 */ /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) for (W=0; W<Graph->Nv; W++) Graph->G[V][W] = INFINITY; return Graph; } void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E ) { /* 插入边 <V1, V2> */ Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight; /* 若是无向图，还要插入边<V2, V1> */ Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight; } MGraph BuildGraph() { MGraph Graph; Edge E; Vertex V; int Nv, i; scanf("%d", &Nv); /* 读入顶点个数 */ Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ scanf("%d", &(Graph->Ne)); /* 读入边数 */ if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */ /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */ for (i=0; i<Graph->Ne; i++) { scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */ InsertEdge( Graph, E ); } } /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) scanf(" %c", &(Graph->Data[V])); return Graph; }

6.1.3 邻接表表示法

定义

C 语言实现

/* 图的邻接表表示法 */ #define MaxVertexNum 100 /* 最大顶点数设为100 */ typedef int Vertex; /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */ typedef int WeightType; /* 边的权值设为整型 */ typedef char DataType; /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */ /* 边的定义 */ typedef struct ENode *PtrToENode; struct ENode{ Vertex V1, V2; /* 有向边<V1, V2> */ WeightType Weight; /* 权重 */ }; typedef PtrToENode Edge; /* 邻接点的定义 */ typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; struct AdjVNode{ Vertex AdjV; /* 邻接点下标 */ WeightType Weight; /* 边权重 */ PtrToAdjVNode Next; /* 指向下一个邻接点的指针 */ }; /* 顶点表头结点的定义 */ typedef struct Vnode{ PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */ DataType Data; /* 存顶点的数据 */ /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */ } AdjList[MaxVertexNum]; /* AdjList是邻接表类型 */ /* 图结点的定义 */ typedef struct GNode *PtrToGNode; struct GNode{ int Nv; /* 顶点数 */ int Ne; /* 边数 */ AdjList G; /* 邻接表 */ }; typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */ LGraph CreateGraph( int VertexNum ) { /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */ Vertex V; LGraph Graph; Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */ Graph->Nv = VertexNum; Graph->Ne = 0; /* 初始化邻接表头指针 */ /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) Graph->G[V].FirstEdge = NULL; return Graph; } void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E ) { PtrToAdjVNode NewNode; /* 插入边 <V1, V2> */ /* 为V2建立新的邻接点 */ NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode)); NewNode->AdjV = E->V2; NewNode->Weight = E->Weight; /* 将V2插入V1的表头 */ NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge; Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode; /* 若是无向图，还要插入边 <V2, V1> */ /* 为V1建立新的邻接点 */ NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode)); NewNode->AdjV = E->V1; NewNode->Weight = E->Weight; /* 将V1插入V2的表头 */ NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge; Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode; } LGraph BuildGraph() { LGraph Graph; Edge E; Vertex V; int Nv, i; scanf("%d", &Nv); /* 读入顶点个数 */ Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ scanf("%d", &(Graph->Ne)); /* 读入边数 */ if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */ /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */ for (i=0; i<Graph->Ne; i++) { scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */ InsertEdge( Graph, E ); } } /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data)); return Graph; }

6.2 图的遍历

6.2.1 图的遍历-深度优先搜索 DFS

思路：访问一个顶点的每个邻接点，然后再原路返回。DFS 类似于树的先序遍历。

C语言实现：DFS 邻接表存储

/* 邻接表存储的图 - DFS */ void Visit( Vertex V ) { printf("正在访问顶点%d\n", V); } /* Visited[]为全局变量，已经初始化为false */ void DFS( LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex) ) { /* 以V为出发点对邻接表存储的图Graph进行DFS搜索 */ PtrToAdjVNode W; Visit( V ); /* 访问第V个顶点 */ Visited[V] = true; /* 标记V已访问 */ for( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */ if ( !Visited[W->AdjV] ) /* 若W->AdjV未被访问 */ DFS( Graph, W->AdjV, Visit ); /* 则递归访问之 */ }

6.2.2 图的遍历-广度优先搜索 BFS

思路：相当于树里面的层次遍历。程序实现的时候借助了队列。

C语言实现：BFS 邻接矩阵存储

/* 邻接矩阵存储的图 - BFS */ /* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边，即W是否V的邻接点。 */ /* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现，关键取决于对不存在的边的表示方法。*/ /* 例如对有权图, 如果不存在的边被初始化为INFINITY, 则函数实现如下: */ bool IsEdge( MGraph Graph, Vertex V, Vertex W ) { return Graph->G[V][W]<INFINITY ? true : false; } /* Visited[]为全局变量，已经初始化为false */ void BFS ( MGraph Graph, Vertex S, void (*Visit)(Vertex) ) { /* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */ Queue Q; Vertex V, W; Q = CreateQueue( MaxSize ); /* 创建空队列, MaxSize为外部定义的常数 */ /* 访问顶点S：此处可根据具体访问需要改写 */ Visit( S ); Visited[S] = true; /* 标记S已访问 */ AddQ(Q, S); /* S入队列 */ while ( !IsEmpty(Q) ) { V = DeleteQ(Q); /* 弹出V */ for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */ /* 若W是V的邻接点并且未访问过 */ if ( !Visited[W] && IsEdge(Graph, V, W) ) { /* 访问顶点W */ Visit( W ); Visited[W] = true; /* 标记W已访问 */ AddQ(Q, W); /* W入队列 */ } } /* while结束*/ }

6.2.3 为什么需要两种遍历

遍历就是把图中的每一个顶点访问一次，但是两种遍历各有特点与应用场景。

BFS：这是一种基于队列这种数据结构的搜索方式，它的特点是由每一个状态可以扩展出许多状态，然后再以此扩展，直到找到目标状态或者队列中头尾指针相遇，即队列中所有状态都已处理完毕。

DFS：基于递归的搜索方式，它的特点是由一个状态拓展一个状态，然后不停拓展，直到找到目标或者无法继续拓展结束一个状态的递归。

优缺点：

BFS:对于解决最短或最少问题特别有效，而且寻找深度小，但缺点是内存耗费量大（需要开大量的数组单元用来存储状态）。 DFS：对于解决遍历和求所有问题有效，对于问题搜索深度小的时候处理速度迅速，然而在深度很大的情况下效率不高

总结：不管是BFS还是DFS，它们虽然好用，但由于时间和空间的局限性，以至于它们只能解决数据量小的问题。

例子：

走迷宫问题，假设黑格子是走不通的路。从左上角为起点，顺时针方向走。小人是走的轨迹。

DFS：

BFS：

6.2.4 图的遍历-图的连通