树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值。
与线段树的比较： 利用线段树可以解决树状数组能解决的所有问题，但树状数组并不能解决线段树能解决的某些问题。其时间复杂度相同，都是log级别，但是再空间复杂度上，树状数组要优于线段树。
其结构如图所示：
其中：a[]数组存放的是原来的值。 c[]数组便是树状数组，里面存放的是所求值的对应数据（比如，区间和，区间最大/小值）。 其实，从图中所见，树状数组也是主要利用了二分的思想。
那么，树状数组主要可以用于解决哪些问题呢：
平时，我们遇到一些，对数组进行维护查询的操作时，如：修改某个点的值，查询某个区间的和，这恰恰是树状数组的强项。
接着，我们回过来看这个图： 令这棵树的结点编号为C1，C2…Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现： C1 = A1 C2 = A1 + A2 C3 = A3 C4 = A1 + A2 + A3 + A4 C5 = A5 C6 = A5 + A6 C7 = A7 C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 … C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16 这里有一个有趣的性质： 设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）(这个k的概念很重要，可以多举几个例子带进上面的式子里试试)个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax， 所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + … + An 利用定义函数，可以很方便的求得k：
int lowbit(int k){ return k&(-k); }知道了这些之后，又该如何运用到题目中呢： 请看下面的例题。
（插图以及上述等式选自百度百科，）
了解了以上的概念之后，我们来介绍两种经典的利用树状数组解决的问题。：
问题一：求区间的最值
例题：HDU - 1754 I hate it:
很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问，从某某到某某当中，分数最高的是多少。 这让很多学生很反感。
不管你喜不喜欢，现在需要你做的是，就是按照老师的要求，写一个程序，模拟老师的询问。当然，老师有时候需要更新某位同学的成绩。 Input 本题目包含多组测试，请处理到文件结束。 在每个测试的第一行，有两个正整数 N 和 M ( 0< N <= 200000,0 < M< 5000 )，分别代表学生的数目和操作的数目。 学生ID编号分别从1编到N。 第二行包含N个整数，代表这N个学生的初始成绩，其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。 接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取’Q’或’U’) ，和两个正整数A，B。 当C为’Q’的时候，表示这是一条询问操作，它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中，成绩最高的是多少。 当C为’U’的时候，表示这是一条更新操作，要求把ID为A的学生的成绩更改为B。 Output 对于每一次询问操作，在一行里面输出最高成绩。 Sample Input 5 6 1 2 3 4 5 Q 1 5 U 3 6 Q 3 4 Q 4 5 U 2 9 Q 1 5 Sample Output 5 6 5 9 Hint Huge input,the C function scanf() will work better than cin
AC 代码：
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define LL long long const int MAX = 1e6+10; const int INF = 0x3fffffff; int a[MAX]; int c[MAX]; int n,m; int lowbit(int x){//如前面所述，求x二进制末尾0的个数 return x&(-x); } void init(){//这里为初始化树状数组； for(int i=1;i<=n;i++){ c[i]=a[i]; for(int j=1;j<lowbit(i);j*=2){ c[i]=max(c[i],c[i-j]); } } return ; } void Updata(int l,int r){//进行区间更新 a[l]=r; for(int i=l;i<=n;i+=lowbit(i)){ c[i]=r; for(int j=1;j<lowbit(i);j*=2){ c[i]=max(c[i],c[i-j]); } } return ; } int Query(int l,int r){//区间查询 int ans=max(a[l],a[r]); while(1){ ans=max(ans,a[r]); if(l==r) break; for(r--;r-l>=lowbit(r);r-=lowbit(r)) ans=max(ans,c[r]); } return ans; } int main(){ while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ memset(a,0,sizeof(a)); memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); } init(); char s; int l,r; for(int i=0;i<m;i++){ getchar(); scanf("%c %d %d",&s,&l,&r); if(s=='Q'){ printf("%d\n",Query(l,r)); } else{ Updata(l,r); } } } return 0; }问题二：求区间的和
例题：HDU - 1166 敌兵布阵
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。 中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:”你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说：”我知错了。。。”但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的. Input 第一行一个整数T，表示有T组数据。 每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。 接下来每行有一条命令，命令有4种形式： (1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30） (2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）; (3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数; (4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现; 每组数据最多有40000条命令 Output 对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车, 对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。 Sample Input 1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Query 1 3 Add 3 6 Query 2 7 Sub 10 2 Add 6 3 Query 3 10 End Sample Output Case 1: 6 33 59
AC代码：
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define LL long long const int MAX = 1e6+10; const int INF = 0x3fffffff; int a[MAX];//树状数组 int n; char s[20]; int lowbit(int x){ return x&(-x); } void update(int i, int val){//更新函数 while(i<=n){ a[i]+=val; i+=lowbit(i); } } int sum(int i){ //求和函数 int sum=0; while(i>0){ sum+=a[i]; i-=lowbit(i); } return sum; } int main(){ int t; int cas=1; scanf("%d",&t); while(t--){ memset(a,0,sizeof(a)); scanf("%d",&n); int temp; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&temp); update(i,temp); } int x,y; printf("Case %d:\n", cas++); while(scanf("%s",s)){ if(s[0]=='E') break; scanf("%d%d",&x,&y); if(s[0]=='A'){ update(x,y); } else if(s[0]=='S'){ update(x,-y); } else { printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1)); //两段区间和相减 } } } return 0; }