声明：仅个人小记
前言：本人遇到的一些有意思、有价值的证明题记录下来。(记在纸上麻烦的地方不少，而且容易丢失)
一、如果 而且 , 则必有 。
推导如下： 这个推导过程有使用构造的思想。这个结论在高等数学中普遍使用。 语言上可以这样表述，一个分式函数，如果该函数当x->a时的极限存在，则若分母为无穷小，则分子也一定为无穷小。 例题：设 f(x) 在 x = 0 的某领域连续，，试证明函数 f(x) 在 x = 0 时取极小值。二、证明 det(A)det(B) = det(AB) 前言： 个人认为，这个公式很有价值，很有理论意义。个人觉得这个公式是联系行列式的运算法则和矩阵运算法则之间的重要桥梁。行列式运算是基于拉普拉斯定理。而矩阵的乘法运算，定义的虽然简单，但是未免有些突兀。这个公式就是探究拉普拉斯定理里面的一些和矩阵乘法运算相通的部分。很有思考价值。证明参看论文《“det（AB）=detAdetB”的数学归纳法证明》 作者姓名： 卢小宁 1. 这个公式语言表达可以这样说： （1）. 方阵A的行列式与方阵B的行列式的乘积等于方阵A和方阵B乘积的行列式。 （2）. 两个n阶行列式的乘积就等于这两个行列式分别对应的方阵的乘积的行列式 2. 证明方法： 数据归纳法 思路是： 证明当n=1是成立。然后假设n-1时候det(A)det(B) = det(AB)成立，这时只要证明n时候成立，命题证明完毕。 3. 先交代矩阵的乘法运算规则和行列式的“拉普拉斯定理” (1) 矩阵乘法定义： 设是一个矩阵，是一个s*n矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵,其中 并把此乘积记作C=AB。对应的运算成为矩阵与矩阵的乘法(multiplication of matrices)。 (2) 拉普拉斯定理： n阶行列式D等于其任一行(列)的元素与它们对应的代数余子式乘积之和。即 （拉普拉斯定理中的“乘积之和”这一运算特点可以联想到矩阵的乘法规则中也是“乘积之和”这样的操作）
det(A) 是指方阵A的行列式，我们知道，行列式是一个数， 但数只是一个结果表征，中间的过程都被屏蔽了。为了证明det(A)det(B)=det(AB) ，我们需要借助拉普拉斯定理将行列式进行拆解。 我们知道det(B)也是一个数，所以有可以根据乘法分配律，得到
又根据拉普拉斯定理，我们知道一个行列式可以写作任一行的元素和它们的代数余子式乘积之和的形式。所以有 即 det(B) 可以根据拉普拉斯定理写成n种形式。
将巧妙的把det(B)的各种形式按编号顺序带入det(A)det(B)中，得 现在我们来探究,这是两个行列是n-1阶行列式，我们已经假设n-1时det(A)det(B)=det(AB),所以就等于这两个行列式相对应的矩阵的乘积的行列式，得 进一步，将带入，仔细观察，可以构造出一个新的n阶行列式,即 此时，对这个新的n阶行列式，利用行列式性质“行列式的某一行加上另一行的k倍，行列式值不变”，我们让该n阶行列式中第 i 行加上第一行的倍数，得到 再将带入,得到 从而det(A)det(B)=det(AB),证毕。 2017年7月18日 16:24:57
三、说明若向量组中向量的维数小于向量的个数，这个向量组一定线性相关。
四、 矩阵进行初等变换，不改变矩阵列向量或者行向量的线性相关性。 前言： 这个定理不难，我记录它是因为初学时候被书本有些忽悠，理解产生错误，另外个人认为书本确实表述不到位。
书上原话： 对矩阵施以初等行(列)变换，不改变矩阵列(行)向量组的线性相关性。 这句话直接让我理解成 : 对矩阵施以初等行变换，不改变矩阵列向量的线性相关性； 对矩阵施以初等列变换，不改变矩阵行向量的线性相关性。 即，我认为这句话并没有交代 初等行变换是否影响行向量的线性相关性 以及 初等列变换是否影响列向量组的线性相关性。 我误以为初等行变换是会影响行向量的线性相关性的。最终，我认为定理应该这样子描述： 对矩阵施以初等变换，不改变矩阵列向量或者行向量的线性相关性。 下面给出证明，
2017年7月31日 00:31:01
