二分图浅识

xiaoxiao2021-02-28  6

二分图

二分图又称作二部图,是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B),则称图G为一个二分图。 简单的说,一个图被分成了两部分,相同的部分没有边,那这个图就是二分图,二分图是特殊的图。

判断是否为二分图,就是求能不能把图G中的点分为满足二分图定义的两部分

增广路径有如下特性: 1. 有奇数条边 2. 起点在二分图的X边,终点在二分图的Y边 3. 路径上的点一定是一个在X边,一个在Y边,交错出现。 4. 整条路径上没有重复的点 5. 起点和终点都是目前还没有配对的点,其他的点都已经出现在匹配子图中 6. 路径上的所有第奇数条边都是目前还没有进入目前的匹配子图的边,而所有第偶数条边都已经进入目前的匹配子图。奇数边比偶数边多一条边 7. 于是当我们把所有第奇数条边都加到匹配子图并把条偶数条边都删除,匹配数增加了1. 例如下图,蓝色的是当前的匹配子图,目前只有边x0y0,然后通过x1找到了增广路径:x1y0->y0x0->x0y2

其中第奇数第边x1y0和x0y2不在当前的匹配子图中,而第偶数条边x0y0在匹配子图中,通过添加x1y0和x0y2到匹配子图并删除x0y0,使得匹配数由1增加到了2。每找到一条增广路径,通过添加删除边,我们总是能使匹配数加1.

求最大配对数就是求这点是否存在增广路,存在就是有一条配对边

变种一:求二分图的最小点覆盖  即在·二分图中求最少的点数,让每条边都至少和其中一个点关联。就是求二分图的最大匹配数

变种二:求最小路径覆盖  用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图得所有顶点,节点数-最大匹配数

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