【信号与系统】私人回顾

xiaoxiao2021-02-28  3

信号与系统之前我学的还算不错,但是对于其中有些概念的理解仍然不够透彻,今天好好梳理一下信号与系统的关键知识点,有助于以后的工作。书中给出了大量的信号种类及其处理方法,锯齿、半余弦、方波等等,这些以后实际遇到了再翻书不迟。而滤波、采样、码分等内容我都没有细写,因为用的少了。

一、 信号

只说我认为比较重要的信号: 1、 随机信号和确定信号:确定信号不谈,对随机信号的处理方法有很多种,在数字信号处理中有大篇幅来谈。 2、 复指数信号:根据数论中数域的扩充,复数表示带有方向的数,可伸缩和旋转,复指数信号也是同样的道理,由于信号是随时间变化的函数,时间是实数,而指数是复数,说明了信号不仅有振幅大小,也有方向,根据欧拉公式,恰好就是相互垂直方向上的正弦和余弦震荡。 3、 Sa(t)函数:Sa信号的意义在于 4、 单位斜变信号:像是机器学习里的ReLU函数。 5、 冲击信号和阶跃信号:本书的核心信号。

二、 系统

系统可以理解为黑箱,也可以理解为一个函数。时域分析很多时候都是开箱分析系统,频域分析更多是黑箱分析。

线性时不变系统:不管书中介绍了多少系统的分类方法,最核心的就是线性时不变系统,即便遇到了非LTI系统,也想办法将其等效为LTI系统来处理。LTI系统的特点:一是满足线性,即叠加性,均匀性,也就是满足线性空间中的所有性质,因为微分也是一种线性运算,所以LTI满足微分性质;二是时不变,也就是说一个系统输入一个信号,不论是在过去,现在还是将来,都能够产生同样的输出,比如电视机,使用了十年,画质变了,说明输入同样的信号的时候,产生的效果变了,这就是个时变系统。

三、 时域分析

由于LTI满足叠加性,所以可以理解为系统响应是零输入和零状态两种响应的叠加。书中列举了零输入响应的例子就是电感和电容,除此之外,我还真的没想到其它的零输入响应的系统。绝大多数系统在经过足够长的时间后,零输入响应都会趋于0,可以忽略不计。

积分也是线性运算,冲激响应和节约响应也是满足线性运算的两个响应。而冲激响应是刻画系统的根本。阶跃函数本身就可以看做是无数个冲激函数的叠加,所以冲激响应和阶跃响应也有同样的关系。卷积就是针对LTI系统出现的,非LTI根本不存在卷积这种运算。卷积的物理意义就是在当前时刻的响应是此前无数个冲激响应的叠加,和起始状态无关,也就是说,卷积是零状态响应。卷积的数学意义是加权叠加,其中一个函数的所有取值都是权,乘在另一个函数上,当两个函数取值最高的部分重合时,也就是权值很大,函数值也很大,这就造成了强者更强,弱者更若,对比更明显,因为乘法本身的意义就是放大。卷积中高低的相对性的对比都在一个定义域段内。一个函数与冲击函数的卷积等于其自身,从物理上讲,一个系统的冲激响应就是系统的镜子,照出系统的原型,冲激经过系统后,系统在任何一个时刻的零状态响应结果都是系统在0时刻造成的结果;从数学上讲,一个函数在0处与冲激函数叠加后,再也没有别的函数与之叠加,其效果只是自己单一的效果。

四、 傅里叶变换

这是信号与系统的核心中的核心。

周期信号可以用三角级数拟合,因为三角函数也是周期函数。在满足狄利克雷条件下,傅里叶级数收敛于任意周期函数,由于这是一种线性变换,傅里叶级数中的任意一级之间都是相互正交的,组成一组规范化正交基,构成了一个线性空间。且所有的频率都是原始周期函数的整数倍,这就限制了傅里叶级数向非周期信号的扩展。实际工程中不可能出现无限多项的级数,所以用有限项拟合,拟合的误差收敛于0,也就是说傅里叶级数收敛于任意周期函数。

但是在微积分中也有任意三角函数可以表示成幂级数,当有无限多项的时候,完全相等,收敛半径为无限大。所以相对于非周期函数,傅里叶级数适用于周期函数,而对于非周期函数,当然也可以用傅里叶处理,因为线性变换的等效性,但是此时的线性维度为无限大,因为有无限个频率,此时使用傅里叶变换。

傅里叶变换:针对非周期连续信号,傅里叶级数的成倍频率n项失去意义。傅里叶变换基本公式的本质是,信号f(t)的Omega频率分量在整个时间段上的累积,无数个omega频率构成了频域信号。公式中的复指数项就是旋转,模值等于1,所以变换前后的能量不变,复指数项本身就是三角函数,原因是欧拉公式,所以展开来看,每一个频率都是三角函数而非别的,但是三角函数和复指数又其实就是一回事,三角函数的本质也是保持了原始信号不论在何处都模值为1。信号是复函数,F(w)也是复函数,包含了振幅分量和相位分量。变换公式中,抛开积分符号,被积部分的含义就是在某个时刻t,信号与按某个角速度旋转到的积。(仍然需要继续理解)

冲激函数傅里叶变换为1,即在所有频率上,振幅一致,相位相同。如果一个系统经过一个冲激响应,相当于其经过了一个保证所有频率的振幅一致,相位相同的信号,也就是完全不影响系统对任何形式的输入信号的影响。进而推广,时域卷积等于频域乘积。这里有一个负数频率的问题,频率在物理上不可能为负数,若为负数则表示了相位信息,即相位180度的反褶,从正余弦信号的傅里叶变换即可看出,所以即便是因果信号,其傅里叶变换后,负数部分仍然存在,其他相位的信息则展示不出来,需要复数呈现。

傅里叶变换保证了时移特性,这满足了时不变系统的要求,其他的微积分特性等等,满足了线性要求,本来傅里叶变换就是从微积分得来的,所以,傅里叶变换契合了LTI系统的需求。

此前提到过傅里叶级数,傅里叶级数就是一系列信号周期的倍数,所以,周期信号反应在傅里叶变换上,就是一系列被积信号频率倍数的采样点,只不过振幅需要计算。

抽样信号也具有一定周期性,所以抽样的周期决定了其傅里叶变换频谱也是一系列的频率点而已。只不过抽样信号还有与原始信号相乘的过程。所以最终得到的信号经过抽样的频谱就是一堆相同的频谱块。则据此,抽样不失真定理即可得出,这里指的是信息量的不丢失。如果抽样的点太少,频率过小,则造成丢失,频谱混叠之后的结果就是,根据抽样信号恢复出来的时域信号虽然能契合抽样后的信号,但是并不等于原始信号。

五、 拉普拉斯变换

拉普拉斯变化就是在傅里叶变换基础上,强行让信号衰减,此参数可描述信号的衰减强弱,满足狄利克雷的收敛条件。除此之外,傅里叶变换后,频域omega仍然是实数,而拉氏变换后s是复数域;且指数函数只能保证单边衰减,另一边无限扩张,所以拉氏变换一般都是单边拉氏变换。

冲激函数拉氏变换仍然是1,所以,拉氏变换同样适用于描述系统,卷积定理成立。

六、 信号矢量空间

在线性空间的基础上,我们可以定义赋范空间,向量长度满足一定条件;定义内积空间,向量内积满足一定条件。这样的条件,三维几何空间完全满足,信号矢量空间也满足。

可以找到一组信号函数,它们内部任意两个函数两两正交,比如傅里叶级数中的函数组。同样的,在幂函数中,勒让德函数组也是一组完备正交函数组。

七、 离散信号时域分析

离散信号基本上就是现在我们能接触到的绝大多数信号了,因为都经过了模数转换,模数转换即采样,典型的离散信号都是连续信号的采样后的结果。离散系统的效果,除了输入输出都是离散的,其它基本一致。

由于不连续的信号无法进行微分,所以时域分析采用差分方程来处理。微分的本质是利用线性近似取微小量,差分的本质含义也一样,取前后两值之间的差值,这个值是绝对准确的,不存在近似,其过程和微分相似,也是线性的。离散系统的单位样值响应相当于连续系统中的冲激函数,能反应系统的整个响应状态。

八、 Z变换

Z变换是离散信号的拉氏变换,所以其本质还是时频转换。Z变换的写法比拉氏变换简洁很多。单位样值的Z变换依然是1,所以卷积定理依然成立。

离散时间傅里叶变换DTFT即将傅里叶变换应用在离散信号上,根据Z变换和傅里叶变换之间的关系,从Z变换即可求出系统的频率响应。

九、 DFT离散傅里叶变换

由于频域离散即在时域连续,时域离散则频域连续,DTFT是真正准确的傅里叶变换,而DFT则是在时域和频域都是离散的,也就是不是精确求值,而是一种算法,能够计算出离散信号的变换值。

傅里叶变换是一种线性变换,但是维数是无限维,当把维数收缩之后,就得到了有限维的线性变换,这个变换矩阵就可以对任意有限的离散信号进行DFT计算,得到方便处理的离散频域值。变换矩阵也就是W矩阵。DFT的运算量是信号量的平方,时间复杂度较高。FFT的复杂度是NlogN,其复杂度大大下降,且有点类似于快速排序算法的复杂度。

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