M阶的B-tree是一棵具有下列结构特性的树：
（1）树的根或者是一片树叶，或者其儿子树在2到M之间。
（2）除根外，所有非树叶节点的儿子数在[M/2]到M之间。(符号[]表示向上取整)
（3）所有树叶都在相同的深度上。
所有的数据都存储在树叶上。也有把数据存储在内部节点的，但我这里选择前者，内部节点只是用来索引。在每一个内部节点上皆含有指向该节点各个儿子的指针P1,P2...,PM和分别代表在子树P2,P3 ... PM中发现的最小关键字的值k1,k2 ... kM-1。当然有些指针是NULL。而其对应的ki则是未定义的。对于每一个节点，其子树P1中所有的关键字都小于子树P2的关键字，如此等等。另外我们还要求在（非根）树叶中关键字的个数也在[M/2]和M之间。下图是一棵4阶B-tree。
4阶B-tree的流行称呼是2-3-4树，而3阶称为2-3树。下面使用2-3树来介绍B-tree的插入与删除。
1. B-tree的插入
下面来演示B-tree的插入过程。初始状态如下：
下面插入18，正好不破坏树的结构：
插入19，发现树叶已经满了，而且兄弟节点也是满的。所以将该树叶的元素一分为二。更新其符节点的键，得到下图：
尝试插入4，发现树叶已经满了，但是其兄弟节点还没有满。所以将一个元素分给兄弟，更新父节点。得到下图：
尝试插入1，发现树叶已满，而且兄弟也满了。更糟糕的是，其父节点的子树数也满了。这个时候必须分裂节点。然后逐级往上修改节点，如果节点不满条件，必须沿着路劲一直修改的根。甚至是生成新的根。下面是这次插入的过程（橘色表示新生成的节点）：
现在插入21，没有破坏树的结构，只是更新路径上的节点的键值。
现在插入65，就必须一直分裂节点一直到根处，发现根的元素也满，必须要生成新的根。下面的一组图描述了这个过程。
总结一下插入的过程：对于一般的M阶B树，当插入一个关键字使得该节点的关键字超过M。我们可以先查看相邻的兄弟节点中有没有未满的。如有，将一个关键字插入到兄弟节点中。如果兄弟节点都满了。那么必须分裂该节点。分裂的两个节点各有一半关键字。然而这使得父节点多出一个儿子，因此我们必须检查父节点是否已经具有M个儿子，如果是，那么这个父节点也要分裂成两个节点。我们重复这个过程直到找到一个父节点具有少于M个儿子。如果分裂了根节点，那么就必须生成一个新的根。注意，在这个过程中要更新节点信息。
2. B-tree的删除
B-tree的删除是这样的过程。从根节点一直寻找直到树叶节点，找到该关键字。如果这个关键字数目只有[M/2]，那么将它除去之后关键字少于[M/2]了。此时有两种情况：
（1）相邻的兄弟节点具有大于[M/2]的关键字
取兄弟节点的一个关键字添加在该节点中。
（2）相邻的兄弟节点只有[M/2]个关键字。
这个时候两个节点就必须合并成一个节点。假如此时父亲节点只有[M/2]个儿子。那么父亲节点也要执行合并的操作。我们重复这个过程直到找到一个父节点，其父节点具有大于[M/2]个儿子。如果到最后，根节点之后一个儿子，那么删除根节点，其儿子成为新的根。
3. B-tree的实现
B-tree的实现我实际上是从B+ Tree中修改得来的。实际上Key[0]保存了第一棵子树的最小值，所以除了树叶之外，内部节点的key值是从1开始的，只有树叶从0开始。这样做在代码实现上使得代码更加清晰（因为我也写过内部节点Key从0开始），速度也更快（不用使用FindMin来寻找一棵树的最小值）。下面我贴出实现代码。关于B+ tree的代码我已经写好，之后再发一篇帖子。
3.1 头文件
//
// MBTree.h
// MBTree
//
// Created by Wuyixin on 2017/8/4.
// Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.
//
#ifndef MBTree_h
#define MBTree_h
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#define M (4)
#define LIMIT_M_2 (M % 2 ? (M + 1)/2 : M/2)
typedef struct MBNode *MBTree,*Position;
typedef int KeyType;
struct MBNode{
int KeyNum;/* 关键字个数 */
KeyType Key[M + 1];/* 内部节点从1开始(实际上0的位置存储了第一棵子树的最小值)，树叶节点从0开始 */
MBTree Children[M + 1];/* 存储M个孩子节点 */
};
/* 初始化 */
extern MBTree Initialize();
/* 插入 */
extern MBTree Insert(MBTree T,KeyType Key);
/* 删除 */
extern MBTree Remove(MBTree T,KeyType Key);
/* 销毁 */
extern MBTree Destroy(MBTree T);
/* 遍历节点 */
extern void Travel(MBTree T);
#endif /* MBTree_h */
3.2 实现文件
//
// MBTree.c
// MBTree
//
// Created by Wuyixin on 2017/8/4.
// Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.
//
#include "MBTree.h"
static KeyType Unavailable = INT_MIN;
/* 生成节点并初始化 */
static MBTree MallocNewNode(){
MBTree NewNode;
int i;
NewNode = malloc(sizeof(struct MBNode));
if (NewNode == NULL)
exit(EXIT_FAILURE);
i = 0;
while (i < M + 1){
NewNode->Key[i] = Unavailable;
NewNode->Children[i] = NULL;
i++;
}
NewNode->KeyNum = 0;
return NewNode;
}
/* 初始化 */
extern MBTree Initialize(){
MBTree T;
if (M < (3)){
printf("M最小等于3！");
exit(EXIT_FAILURE);
}
/* 根结点 */
T = MallocNewNode();
return T;
}
/* 寻找一个兄弟节点，其存储的关键字未满，否则返回NULL */
static Position FindSibling(Position Parent,int i){
Position Sibling;
int Limit;
Limit = M;
Sibling = NULL;
if (i == 0){
if (Parent->Children[1]->KeyNum < Limit)
Sibling = Parent->Children[1];
}
else if (Parent->Children[i - 1]->KeyNum < Limit)
Sibling = Parent->Children[i - 1];
else if (i + 1 < Parent->KeyNum && Parent->Children[i + 1]->KeyNum < Limit){
Sibling = Parent->Children[i + 1];
}
return Sibling;
}
/* 查找兄弟节点，其关键字数大于M/2 ;没有返回NULL*/
static Position FindSiblingKeyNum_M_2(Position Parent,int i,int *j){
int Limit;
Position Sibling;
Sibling = NULL;
Limit = LIMIT_M_2;
if (i == 0){
if (Parent->Children[1]->KeyNum > Limit){
Sibling = Parent->Children[1];
*j = 1;
}
}
else{
if (Parent->Children[i - 1]->KeyNum > Limit){
Sibling = Parent->Children[i - 1];
*j = i - 1;
}
else if (i + 1 < Parent->KeyNum && Parent->Children[i + 1]->KeyNum > Limit){
Sibling = Parent->Children[i + 1];
*j = i + 1;
}
}
return Sibling;
}
/* 当要对X插入Key的时候，i是X在Parent的位置，j是Key要插入的位置
当要对Parent插入X节点的时候，i是要插入的位置，Key和j的值没有用
*/
static Position InsertElement(int isKey, Position Parent,Position X,KeyType Key,int i,int j){
int k;
if (isKey){
/* 插入key */
k = X->KeyNum - 1;
while (k >= j){
X->Key[k + 1] = X->Key[k];k--;
}
X->Key[j] = Key;
if (Parent != NULL)
Parent->Key[i] = X->Key[0];
X->KeyNum++;
}else{
/* 插入节点 */
k = Parent->KeyNum - 1;
while (k >= i){
Parent->Children[k + 1] = Parent->Children[k];
Parent->Key[k + 1] = Parent->Key[k];
k--;
}
Parent->Key[i] = X->Key[0];
Parent->Children[i] = X;
Parent->KeyNum++;
}
return X;
}
static Position RemoveElement(int isKey, Position Parent,Position X,int i,int j){
int k,Limit;
if (isKey){
Limit = X->KeyNum;
/* 删除key */
k = j + 1;
while (k < Limit){
X->Key[k - 1] = X->Key[k];k++;
}
X->Key[X->KeyNum - 1] = Unavailable;
Parent->Key[i] = X->Key[0];
X->KeyNum--;
}else{
/* 删除节点 */
Limit = Parent->KeyNum;
k = i + 1;
while (k < Limit){
Parent->Children[k - 1] = Parent->Children[k];
Parent->Key[k - 1] = Parent->Key[k];
k++;
}
Parent->Children[Parent->KeyNum - 1] = NULL;
Parent->Key[Parent->KeyNum - 1] = Unavailable;
Parent->KeyNum--;
}
return X;
}
/* Src和Dst是两个相邻的节点，i是Src在Parent中的位置；
将Src的元素移动到Dst中 ,n是移动元素的个数*/
static Position MoveElement(Position Src,Position Dst,Position Parent,int i,int n){
KeyType TmpKey;
Position Child;
int j,SrcInFront;
SrcInFront = 0;
if (Src->Key[0] < Dst->Key[0])
SrcInFront = 1;
j = 0;
/* 节点Src在Dst前面 */
if (SrcInFront){
if (Src->Children[0] != NULL){
while (j < n) {
Child = Src->Children[Src->KeyNum - 1];
RemoveElement(0, Src, Child, Src->KeyNum - 1, Unavailable);
InsertElement(0, Dst, Child, Unavailable, 0, Unavailable);
j++;
}
}else{
while (j < n) {
TmpKey = Src->Key[Src->KeyNum -1];
RemoveElement(1, Parent, Src, i, Src->KeyNum - 1);
InsertElement(1, Parent, Dst, TmpKey, i + 1, 0);
j++;
}
}
Parent->Key[i + 1] = Dst->Key[0];
}else{
if (Src->Children[0] != NULL){
while (j < n) {
Child = Src->Children[0];
RemoveElement(0, Src, Child, 0, Unavailable);
InsertElement(0, Dst, Child, Unavailable, Dst->KeyNum, Unavailable);
j++;
}
}else{
while (j < n) {
TmpKey = Src->Key[0];
RemoveElement(1, Parent, Src, i, 0);
InsertElement(1, Parent, Dst, TmpKey, i - 1, Dst->KeyNum);
j++;
}
}
Parent->Key[i] = Src->Key[0];
}
return Parent;
}
/* 分裂节点 */
static MBTree SplitNode(Position Parent,Position X,int i){
int j,k,Limit;
Position NewNode;
NewNode = MallocNewNode();
k = 0;
j = X->KeyNum / 2;
Limit = X->KeyNum;
while (j < Limit){
if (X->Children[0] != NULL){
NewNode->Children[k] = X->Children[j];
X->Children[j] = NULL;
}
NewNode->Key[k] = X->Key[j];
X->Key[j] = Unavailable;
NewNode->KeyNum++;X->KeyNum--;
j++;k++;
}
if (Parent != NULL)
InsertElement(0, Parent, NewNode, Unavailable, i + 1, Unavailable);
else{
/* 如果是X是根，那么创建新的根并返回 */
Parent = MallocNewNode();
InsertElement(0, Parent, X, Unavailable, 0, Unavailable);
InsertElement(0, Parent, NewNode, Unavailable, 1, Unavailable);
return Parent;
}
return X;
}
/* 合并节点,X只有一个关键字，S有大于或等于M/2个关键字*/
static Position MergeNode(Position Parent, Position X,Position S,int i){
int Limit;
/* S的关键字数目大于M/2 */
if (S->KeyNum > LIMIT_M_2){
/* 从S中移动一个元素到X中 */
MoveElement(S, X, Parent, i,1);
}else{
/* 将X全部元素移动到S中，并把X删除 */
Limit = X->KeyNum;
MoveElement(X,S, Parent, i,Limit);
RemoveElement(0, Parent, X, i, Unavailable);
free(X);
X = NULL;
}
return Parent;
}
static MBTree RecursiveInsert(MBTree T,KeyType Key,int i,MBTree Parent){
int j,Limit;
Position Sibling;
/* 查找分支 */
j = 0;
while (j < T->KeyNum && Key >= T->Key[j]){
/* 重复值不插入 */
if (Key == T->Key[j])
return T;
j++;
}
if (j != 0 && T->Children[0] != NULL) j--;
/* 树叶 */
if (T->Children[0] == NULL)
T = InsertElement(1, Parent, T, Key, i, j);
/* 内部节点 */
else
T->Children[j] = RecursiveInsert(T->Children[j], Key, j, T);
/* 调整节点 */
Limit = M;
if (T->KeyNum > Limit){
/* 根 */
if (Parent == NULL){
/* 分裂节点 */
T = SplitNode(Parent, T, i);
}
else{
Sibling = FindSibling(Parent, i);
if (Sibling != NULL){
/* 将T的一个元素（Key或者Child）移动的Sibing中 */
MoveElement(T, Sibling, Parent, i, 1);
}else{
/* 分裂节点 */
T = SplitNode(Parent, T, i);
}
}
}
if (Parent != NULL)
Parent->Key[i] = T->Key[0];
return T;
}
/* 插入 */
extern MBTree Insert(MBTree T,KeyType Key){
return RecursiveInsert(T, Key, 0, NULL);
}
static MBTree RecursiveRemove(MBTree T,KeyType Key,int i,MBTree Parent){
int j,NeedAdjust;
Position Sibling,Tmp;
Sibling = NULL;
/* 查找分支 */
j = 0;
while (j < T->KeyNum && Key >= T->Key[j]){
if (Key == T->Key[j])
break;
j++;
}
if (T->Children[0] == NULL){
/* 没找到 */
if (Key != T->Key[j] || j == T->KeyNum)
return T;
}else
if (j == T->KeyNum || Key < T->Key[j]) j--;
/* 树叶 */
if (T->Children[0] == NULL){
T = RemoveElement(1, Parent, T, i, j);
}else{
T->Children[j] = RecursiveRemove(T->Children[j], Key, j, T);
}
NeedAdjust = 0;
/* 树的根或者是一片树叶，或者其儿子数在2到M之间 */
if (Parent == NULL && T->Children[0] != NULL && T->KeyNum < 2)
NeedAdjust = 1;
/* 除根外，所有非树叶节点的儿子数在[M/2]到M之间。(符号[]表示向上取整) */
else if (Parent != NULL && T->Children[0] != NULL && T->KeyNum < LIMIT_M_2)
NeedAdjust = 1;
/* （非根）树叶中关键字的个数也在[M/2]和M之间 */
else if (Parent != NULL && T->Children[0] == NULL && T->KeyNum < LIMIT_M_2)
NeedAdjust = 1;
/* 调整节点 */
if (NeedAdjust){
/* 根 */
if (Parent == NULL){
if(T->Children[0] != NULL && T->KeyNum < 2){
Tmp = T;
T = T->Children[0];
free(Tmp);
return T;
}
}else{
/* 查找兄弟节点，其关键字数目大于M/2 */
Sibling = FindSiblingKeyNum_M_2(Parent, i,&j);
if (Sibling != NULL){
MoveElement(Sibling, T, Parent, j, 1);
}else{
if (i == 0)
Sibling = Parent->Children[1];
else
Sibling = Parent->Children[i - 1];
Parent = MergeNode(Parent, T, Sibling, i);
T = Parent->Children[i];
}
}
}
return T;
}
/* 删除 */
extern MBTree Remove(MBTree T,KeyType Key){
return RecursiveRemove(T, Key, 0, NULL);
}
/* 销毁 */
extern MBTree Destroy(MBTree T){
int i,j;
if (T != NULL){
i = 0;
while (i < T->KeyNum + 1){
Destroy(T->Children[i]);i++;
}
printf("Destroy:(");
/* 树叶的Key从0开始，内部节点从1开始 */
if (T->Children[0] == NULL)
j = 0;
else
j = 1;
while (j < T->KeyNum)/* T->Key[i] != Unavailable*/
printf("%d:",T->Key[j++]);
printf(") ");
free(T);
T = NULL;
}
return T;
}
static void RecursiveTravel(MBTree T,int Level){
int i;
if (T != NULL){
printf(" ");
printf("[Level:%d]-->",Level);
printf("(");
/* 树叶的Key从0开始，内部节点从1开始 */
if (T->Children[0] == NULL)
i = 0;
else
i = 1;
while (i < T->KeyNum)/* T->Key[i] != Unavailable*/
printf("%d:",T->Key[i++]);
printf(")");
Level++;
i = 0;
while (i <= T->KeyNum) {
RecursiveTravel(T->Children[i], Level);
i++;
}
}
}
/* 遍历 */
extern void Travel(MBTree T){
RecursiveTravel(T, 0);
printf("\n");
}
3.3 调用
//
// main.c
// MBTree
//
// Created by Wuyixin on 2017/8/4.
// Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.
//
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include "MBTree.h"
int main(int argc, const char * argv[]) {
MBTree T;
T = Initialize();
clock_t c1 = clock();
int i = 50000000;
while (i > 0)
T = Insert(T, i--);
i = 50000001;
while (i < 100000000)
T = Insert(T, i++);
i = 100000000;
while (i > 100)
T = Remove(T, i--);
Travel(T);
Destroy(T);
clock_t c2 = clock();
printf("\n用时： %lu秒\n",(c2 - c1)/CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}
