匀速贝塞尔曲线运动的实现(转)

xiaoxiao2021-02-28  28

二次贝塞尔曲线通常以如下方式构建,给定二维平面上的固定点P0,P1,P2,用B(t)表示该条曲线

用一个动画来演示,可以更加清楚的表明这条曲线的构建过程如果t变量本身线形变化的话,这条贝塞尔曲线本身的生成过程是并不是匀速的,通常都是两头快中间慢。如果t变量本身线形变化的话,这条贝塞尔曲线本身的生成过程是并不是匀速的,通常都是两头快中间慢。

如何想要得到匀速的贝塞尔曲线运动呢?比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径,如何实现玩家匀速在这条路径上运动呢?思考这个算法颇费了一番脑筋,其间还得到数学牛人Charlesgao的帮助,非常感谢他(比较糗的是,我问问题的时候就把其中的一个公式搞错了,见笑了-_-!)。

首先需要求得B(t)相对于t的速度公式s(t)为了简化公式,我们定义如下变量:计算出的s(t)可以表达为:其中A,B,C是根据P0,P1,P2计算出的常数:根据这个公式,求得贝塞尔曲线的长度公式L(t):设t`就是能够使L实现匀速运动的自变量,那么显然L(t`)=L(1.0)*t,即:由于L(t)函数非常复杂,直接求逆函数的表达式几乎不可能,还好我们可以知道它的导数为s(t),在实际使用中,可以使用牛顿切线法求出近似解。其迭代算法可以表达为:我写了一个测试程序用于验证该算法,运算结果如下,可以看到,这条曲线已经是以匀速方式生成的了 ^_^:

 

 

[cpp]  view plain  copy #include <stdio.h>    #include <math.h>    #include <windows.h>        //三个控制点    POINT P0={50,50},P1={500,600},P2={800,200};        int ax = P0.x-2*P1.x+P2.x;    int ay = P0.y-2*P1.y+P2.y;    int bx = 2*P1.x-2*P0.x;    int by = 2*P1.y-2*P0.y;        double A = 4*(ax*ax+ay*ay);    double B = 4*(ax*bx+ay*by);    double C = bx*bx+by*by;        //曲线总长度    double total_length = 0.0;        //曲线分割的份数    const int STEP = 70;        //用于保存绘制点数据的数组    POINT pixels[STEP];        //-------------------------------------------------------------------------------------    //速度函数    /*  s(t_) = Sqrt[A*t*t+B*t+C]  */    double s(double t)    {        return sqrt(A*t*t+B*t+C);    }        //-------------------------------------------------------------------------------------    //长度函数    /*    L(t) = Integrate[s[t], t]    L(t_) = ((2*Sqrt[A]*(2*A*t*Sqrt[C + t*(B + A*t)] + B*(-Sqrt[C] + Sqrt[C + t*(B + A*t)])) +               (B^2 - 4*A*C) (Log[B + 2*Sqrt[A]*Sqrt[C]] - Log[B + 2*A*t + 2 Sqrt[A]*Sqrt[C + t*(B + A*t)]]))                  /(8* A^(3/2)));  */    double L(double t)    {        double temp1 = sqrt(C+t*(B+A*t));        double temp2 = (2*A*t*temp1+B*(temp1-sqrt(C)));        double temp3 = log(B+2*sqrt(A)*sqrt(C));        double temp4 = log(B+2*A*t+2*sqrt(A)*temp1);        double temp5 = 2*sqrt(A)*temp2;        double temp6 = (B*B-4*A*C)*(temp3-temp4);                return (temp5+temp6)/(8*pow(A,1.5));    }        //-------------------------------------------------------------------------------------    //长度函数反函数,使用牛顿切线法求解    /*      X(n+1) = Xn - F(Xn)/F'(Xn)  */    double InvertL(double t, double l)    {        double t1=t, t2;                do        {            t2 = t1 - (L(t1)-l)/s(t1);            if(abs(t1-t2)<0.000001) break;            t1=t2;        }while(true);        return t2;    }        //-------------------------------------------------------------------------------------    LRESULT CALLBACK _WndProc(HWND hWnd, UINT message, WPARAM wParam, LPARAM lParam)    {        switch (message)         {        case WM_TIMER:            {                static nIndex = 0;                if(nIndex>=0 && nIndex<=STEP)                {                    double t = (double)nIndex/STEP;                    //如果按照线形增长,此时对应的曲线长度                    double l = t*total_length;                    //根据L函数的反函数,求得l对应的t值                    t = InvertL(t, l);                        //根据贝塞尔曲线函数,求得取得此时的x,y坐标                    double x = (1-t)*(1-t)*P0.x +2*(1-t)*t*P1.x + t*t*P2.x;                    double y = (1-t)*(1-t)*P0.y +2*(1-t)*t*P1.y + t*t*P2.y;                        //取整                    pixels[nIndex].x = (int)(x+0.5);                    pixels[nIndex].y = (int)(y+0.5);                        nIndex++;                    InvalidateRect(hWnd, 0, 0);                }                else                {                    KillTimer(hWnd, 101);                }            }            break;        case WM_PAINT:            {                PAINTSTRUCT ps;                HDC hdc = BeginPaint(hWnd, &ps);                ::MoveToEx(hdc, P0.x, P0.y, 0);                LineTo(hdc, P1.x, P1.y);                LineTo(hdc, P2.x, P2.y);                    for(int i=0; i<STEP; i++)                {                    const POINT &pt = pixels[i];                    if(pt.x==0 && pt.y==0) break;                        ::MoveToEx(hdc, pt.x-2, pt.y, 0);                    ::LineTo(hdc, pt.x+2, pt.y);                    ::MoveToEx(hdc, pt.x, pt.y-2, 0);                    ::LineTo(hdc, pt.x, pt.y+2);                }                EndPaint(hWnd, &ps);            }            break;        case WM_DESTROY:            PostQuitMessage(0);            break;        default:            return DefWindowProc(hWnd, message, wParam, lParam);        }        return 0;    }        //-------------------------------------------------------------------------------------    int APIENTRY WinMain(HINSTANCE hInstance,                         HINSTANCE hPrevInstance,                         LPTSTR    lpCmdLine,                         int       nCmdShow)    {        //注册窗口类        WNDCLASSEX wcex;        ZeroMemory(&wcex, sizeof(WNDCLASSEX));            wcex.cbSize = sizeof(WNDCLASSEX);         wcex.style          = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;        wcex.lpfnWndProc    = (WNDPROC)_WndProc;        wcex.hInstance      = hInstance;        wcex.hCursor        = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW);        wcex.hbrBackground  = (HBRUSH)(COLOR_WINDOW+1);        wcex.lpszClassName  = "BezierClass";        RegisterClassEx(&wcex);            //创建窗口        HWND hWnd = CreateWindow("BezierClass""BezierDemo", WS_OVERLAPPEDWINDOW,          CW_USEDEFAULT, 0, CW_USEDEFAULT, 0, NULL, NULL, hInstance, NULL);        ShowWindow(hWnd, nCmdShow);        UpdateWindow(hWnd);            //计算总长度        total_length = L(1);            //清空绘制点数据        ZeroMemory(&pixels, sizeof(pixels));            //设定定时刷新计时器        SetTimer(hWnd, 101, 10, 0);            //消息循环        MSG msg;        while(GetMessage(&msg, NULL, 0, 0))         {            TranslateMessage(&msg);            DispatchMessage(&msg);        }            return (int) msg.wParam;    }  
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