二次贝塞尔曲线通常以如下方式构建，给定二维平面上的固定点P0,P1,P2，用B(t)表示该条曲线
用一个动画来演示，可以更加清楚的表明这条曲线的构建过程如果t变量本身线形变化的话，这条贝塞尔曲线本身的生成过程是并不是匀速的，通常都是两头快中间慢。如果t变量本身线形变化的话，这条贝塞尔曲线本身的生成过程是并不是匀速的，通常都是两头快中间慢。
如何想要得到匀速的贝塞尔曲线运动呢？比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径，如何实现玩家匀速在这条路径上运动呢？思考这个算法颇费了一番脑筋，其间还得到数学牛人Charlesgao的帮助，非常感谢他（比较糗的是，我问问题的时候就把其中的一个公式搞错了，见笑了-_-!)。
首先需要求得B(t)相对于t的速度公式s(t)为了简化公式，我们定义如下变量：计算出的s(t)可以表达为：其中A,B,C是根据P0,P1,P2计算出的常数：根据这个公式，求得贝塞尔曲线的长度公式L(t)：设t`就是能够使L实现匀速运动的自变量，那么显然L(t`)=L(1.0)*t，即：由于L(t)函数非常复杂，直接求逆函数的表达式几乎不可能，还好我们可以知道它的导数为s(t)，在实际使用中，可以使用牛顿切线法求出近似解。其迭代算法可以表达为：我写了一个测试程序用于验证该算法，运算结果如下，可以看到，这条曲线已经是以匀速方式生成的了 ^_^：
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <math.h> #include <windows.h> //三个控制点 POINT P0={50,50},P1={500,600},P2={800,200}; int ax = P0.x-2*P1.x+P2.x; int ay = P0.y-2*P1.y+P2.y; int bx = 2*P1.x-2*P0.x; int by = 2*P1.y-2*P0.y; double A = 4*(ax*ax+ay*ay); double B = 4*(ax*bx+ay*by); double C = bx*bx+by*by; //曲线总长度 double total_length = 0.0; //曲线分割的份数 const int STEP = 70; //用于保存绘制点数据的数组 POINT pixels[STEP]; //------------------------------------------------------------------------------------- //速度函数 /* s(t_) = Sqrt[A*t*t+B*t+C] */ double s(double t) { return sqrt(A*t*t+B*t+C); } //------------------------------------------------------------------------------------- //长度函数 /* L(t) = Integrate[s[t], t] L(t_) = ((2*Sqrt[A]*(2*A*t*Sqrt[C + t*(B + A*t)] + B*(-Sqrt[C] + Sqrt[C + t*(B + A*t)])) + (B^2 - 4*A*C) (Log[B + 2*Sqrt[A]*Sqrt[C]] - Log[B + 2*A*t + 2 Sqrt[A]*Sqrt[C + t*(B + A*t)]])) /(8* A^(3/2))); */ double L(double t) { double temp1 = sqrt(C+t*(B+A*t)); double temp2 = (2*A*t*temp1+B*(temp1-sqrt(C))); double temp3 = log(B+2*sqrt(A)*sqrt(C)); double temp4 = log(B+2*A*t+2*sqrt(A)*temp1); double temp5 = 2*sqrt(A)*temp2; double temp6 = (B*B-4*A*C)*(temp3-temp4); return (temp5+temp6)/(8*pow(A,1.5)); } //------------------------------------------------------------------------------------- //长度函数反函数，使用牛顿切线法求解 /* X(n+1) = Xn - F(Xn)/F'(Xn) */ double InvertL(double t, double l) { double t1=t, t2; do { t2 = t1 - (L(t1)-l)/s(t1); if(abs(t1-t2)<0.000001) break; t1=t2; }while(true); return t2; } //------------------------------------------------------------------------------------- LRESULT CALLBACK _WndProc(HWND hWnd, UINT message, WPARAM wParam, LPARAM lParam) { switch (message) { case WM_TIMER: { static nIndex = 0; if(nIndex>=0 && nIndex<=STEP) { double t = (double)nIndex/STEP; //如果按照线形增长,此时对应的曲线长度 double l = t*total_length; //根据L函数的反函数，求得l对应的t值 t = InvertL(t, l); //根据贝塞尔曲线函数，求得取得此时的x,y坐标 double x = (1-t)*(1-t)*P0.x +2*(1-t)*t*P1.x + t*t*P2.x; double y = (1-t)*(1-t)*P0.y +2*(1-t)*t*P1.y + t*t*P2.y; //取整 pixels[nIndex].x = (int)(x+0.5); pixels[nIndex].y = (int)(y+0.5); nIndex++; InvalidateRect(hWnd, 0, 0); } else { KillTimer(hWnd, 101); } } break; case WM_PAINT: { PAINTSTRUCT ps; HDC hdc = BeginPaint(hWnd, &ps); ::MoveToEx(hdc, P0.x, P0.y, 0); LineTo(hdc, P1.x, P1.y); LineTo(hdc, P2.x, P2.y); for(int i=0; i<STEP; i++) { const POINT &pt = pixels[i]; if(pt.x==0 && pt.y==0) break; ::MoveToEx(hdc, pt.x-2, pt.y, 0); ::LineTo(hdc, pt.x+2, pt.y); ::MoveToEx(hdc, pt.x, pt.y-2, 0); ::LineTo(hdc, pt.x, pt.y+2); } EndPaint(hWnd, &ps); } break; case WM_DESTROY: PostQuitMessage(0); break; default: return DefWindowProc(hWnd, message, wParam, lParam); } return 0; } //------------------------------------------------------------------------------------- int APIENTRY WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstance, LPTSTR lpCmdLine, int nCmdShow) { //注册窗口类 WNDCLASSEX wcex; ZeroMemory(&wcex, sizeof(WNDCLASSEX)); wcex.cbSize = sizeof(WNDCLASSEX); wcex.style = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW; wcex.lpfnWndProc = (WNDPROC)_WndProc; wcex.hInstance = hInstance; wcex.hCursor = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW); wcex.hbrBackground = (HBRUSH)(COLOR_WINDOW+1); wcex.lpszClassName = "BezierClass"; RegisterClassEx(&wcex); //创建窗口 HWND hWnd = CreateWindow("BezierClass", "BezierDemo", WS_OVERLAPPEDWINDOW, CW_USEDEFAULT, 0, CW_USEDEFAULT, 0, NULL, NULL, hInstance, NULL); ShowWindow(hWnd, nCmdShow); UpdateWindow(hWnd); //计算总长度 total_length = L(1); //清空绘制点数据 ZeroMemory(&pixels, sizeof(pixels)); //设定定时刷新计时器 SetTimer(hWnd, 101, 10, 0); //消息循环 MSG msg; while(GetMessage(&msg, NULL, 0, 0)) { TranslateMessage(&msg); DispatchMessage(&msg); } return (int) msg.wParam; }
