分蛋糕问题

#分蛋糕问题

有一家有两个孩子，哥哥和弟弟，两人都很喜欢吃蛋糕，每次分蛋糕的时候，哥哥都会把一把刀插在蛋糕的一端，然后随机地切下两刀，插着刀的这一部分归哥哥，剩下的归弟弟，那么问题来了，这样的分配方式看似公平，但是到底真正公平吗？

首先我们采用随机模拟的方式来分析一下问题，将蛋糕分成360度，设定一开始哥哥插刀的位置为0度，之后切蛋糕的角度分别为x，y，不妨设y > x。那么弟弟分到的蛋糕就是y - x的部分，哥哥分到的蛋糕就是360 - y + x的部分，我们使用Python模拟10_000，100_000,1000_1000,1_1000_000次分蛋糕的结果，横轴为0到359度的分到的蛋糕大小，纵轴为分到相应大小蛋糕的概率。结果如下图（绿线为弟弟，红线为哥哥）：

具体代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt import random N=1000000 valueA=[] valueB=[] PA=[] PB=[] for i in range(N): tmp1=random.random()*360 tmp2=random.random()*360 if tmp1>tmp2 : tmp=round(tmp1-tmp2) else: tmp=round(tmp2-tmp1) valueA.append(tmp) valueB.append(360-tmp) for i in range(360): PA.append(valueA.count(i)/N) PB.append(valueB.count(i)/N) plt.plot(range(360),PA,'g-',range(360),PB,'r-') plt.show()

不难看出，显然每次都是哥哥占了便宜。

下面我们从概率的方式分析下这个问题，每次分蛋糕时，哥哥分到的蛋糕大于弟弟可以写成如下不等式： $|360-y+x|>|y-x|$， 那么可以转化为几何概率的问题，在坐标轴上作出 $y=x+180$ 和 $y=x-180$: 可以看出，哥哥大于弟弟的概率是弟弟大于哥哥的概率的3倍，所以说，学好概率很重要啊，不然以后吃亏了都不知道。

具体代码如下：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x=range(180,360) x=np.array(x) x1=range(0,180) x1=np.array(x1) plt.axis([0,360,0,360]) plt.plot(x,x-180,color='red',linestyle='-',label=r'$y=x-180$') plt.plot(x1,x1+180,color='green',linestyle='-',label=r'$y=x+180$') plt.legend(loc='upper left',frameon=False) plt.show()

故事的后续： 明面上是精通数学的哥哥占了便宜，但是多年以后，因为吃了太多的蛋糕，身材略胖的哥哥并没有找到女朋友，弟弟邪魅一笑：“嘻，真正的赢家其实是我！”