Kanade's trio

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others) Total Submission(s): 1079    Accepted Submission(s): 398 Problem Description Give you an array  A[1..n] ，you need to calculate how many tuples  (i,j,k)  satisfy that  (i<j<k)  and  ((A[i] xor A[j])<(A[j] xor A[k])) There are T test cases. 1≤T≤20 1≤∑n≤5∗105 0≤A[i]<230   Input There is only one integer T on first line. For each test case , the first line consists of one integer  n  ,and the second line consists of  n  integers which means the array  A[1..n]   Output For each test case , output an integer , which means the answer.   Sample Input 1 5 1 2 3 4 5   Sample Output 6   Source 2017 Multi-University Training Contest - Team 3   Recommend liuyiding   |   We have carefully selected several similar problems for you:   6181  6180  6179  6178  6177    Statistic |  Submit |  Discuss |  Note

题意

给出 A[1..n] ， (1<=∑n<=5∗105) ， (0<=A[i]<230) ，要求统计三元组 (i,j,k) 的个数使其满足 i<j<k 并且 (A[i]xorA[j])<(A[j]xorA[k]) 。

思路

事先把所有数字插入字典树中，用字典树维护 A[k] 的信息，接着对每一个 A[i] ，枚举其二进制最高位小于 A[k] 的位数，考虑这样一个情况：若当前枚举到了 A[i] 的二进制第5位比 A[k] 小，那么 A[i] 与 A[k] 的第30位到第6位都是相同的，此时就不用考虑 A[j] 的第30位到第6位如何，只考虑第5位的情况就好。  考虑当前位置 A[i] 的情况，若当前位置 A[i] 为0，那么 A[j] 的相同位置要为0才能使两者异或值为0，此时 A[k] 为1，这时满足条件的 A[j] 与 A[k] 对数可以计入答案。当前位置 A[i] 为1的情况同理（ A[j] 为1， A[k] 为0）。

对于 A[j] 与 A[k] 对数的统计，在插入 A[k] 时，之前插入的数就都成了 A[j] 。因此用一个cnt[i][j]数组记录下第i位为j的数之前出现了几次，那么在插入时，对于这一位置 A[k] 为0的情况，之前有多少的 A[j] 在这一位为1，就是此时满足条件的 A[j] 的个数。代码里的cnt[i][nxt ^ 1]就是此时符合条件的 A[j] 个数。

当我们把一个数从字典树中去掉时，也要考虑去掉这个数留下来的统计值。  这题特殊的地方在于，插入是连续的，之后是连续的删除，所以在插入完成后可以把cnt[i][j]数组清空一遍，用来记录第i位为j的数被删除了几次。  考虑两个方面：  - 一个是这个数作为 A[k] 直接被去掉带来的影响，像之前一样减去其前面已经被删去的 A[j] 的个数（依然是cnt[now][nxt ^ 1]）就好。（这一步操作在Trie::Insert()里面，与插入时的操作类似）  - 还有一个是这个数作为 A[j] 带来的影响，因为这个数已经不能和后面的 A[k] 组合产生贡献了，考虑到在统计时，当前位的 A[k] 已经把可以与其组合的 A[j] 个数统计在了sum[tmp]中，这里面还需去掉被删去的 A[j] ，被删去的 A[j] 已经被统计在了cnt[i][nxt]中，现有的 A[k] 被存在了val[tmp]中，这一部分不能被计入答案，相乘，减去。（sum[tmp] - val[tmp] * cnt[i][nxt]这一步在函数solve()里）

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <string.h> #include <map> #include <set> #include <queue> #include <deque> #include <list> #include <bitset> #include <stack> #include <stdlib.h> #define lowbit(x) (x&-x) #define e exp(1.0) #define eps 1e-8 //ios::sync_with_stdio(false); // auto start = clock(); // cout << (clock() - start) / (double)CLOCKS_PER_SEC<<endl; typedef long long ll; typedef long long LL; using namespace std; typedef unsigned long long ull; const int maxn=5e5+10; ll a[maxn]; int bits[32]; struct tire { int tot,root; int val[maxn*30],ch[maxn*30][2]; ll sum[maxn*30],cnt[maxn][2]; int newnode() { val[tot]=sum[tot]=0; ch[tot][0]=ch[tot][1]=-1; return tot++; } void init() { tot=0; root=newnode(); memset(cnt,0,sizeof(cnt)); } void insert(int x,int v) { int now=root,nxt; for(int i=30;i>=0;i--) { nxt=!!(x & bits[i]); if(ch[now][nxt]==-1) ch[now][nxt]=newnode(); now=ch[now][nxt]; cnt[i][nxt]++; sum[now]+=v*cnt[i][nxt^1]; val[now]+=v; } } ll solve(int x) { ll ret=0; int now=root,tmp,nxt; for(int i=30;i>=0;--i) { nxt=!!(x & bits[i]); tmp=ch[now][nxt^1]; now=ch[now][nxt]; if(tmp!=-1) ret+=sum[tmp]-val[tmp]*cnt[i][nxt]; if(now==-1) break; } return ret; } }tire; int n; int main() { ios::sync_with_stdio(false); int T; cin>>T; bits[0]=1; for(int i=1;i<32;i++) bits[i]=bits[i-1]<<1; while(T--) { cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; ll ans=0; tire.init(); for(int i=1;i<=n;i++) tire.insert(a[i],1); memset(tire.cnt,0,sizeof(tire.cnt)); for(int i=1;i<=n;i++) { tire.insert(a[i],-1); ans+=tire.solve(a[i]); } cout<<ans<<endl; } return 0; }