钱币兑换问题
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Problem Description
在一个国家仅有1分，2分，3分硬币，将钱N兑换成硬币有很多种兑法。请你编程序计算出共有多少种兑法。
Input
每行只有一个正整数N，N小于32768。
Output
对应每个输入，输出兑换方法数。
Sample Input
2934
12553
Sample Output
718831
13137761
Author
SmallBeer(CML)
Source
杭电ACM集训队训练赛（VII）
方法一 ：背包问题 dp
import java.util.Scanner;
public class Main{
/**
* @param args
*/
static int dp[]=new int[35000];
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n;
int i,j;
dp[0]=1;
for(i=1;i<=3;i++)
for(j=i;j<=35000;j++)
dp[j]+=dp[j-i];
while(scan.hasNext()){
n=scan.nextInt();
System.out.printf("%d\n",dp[n]);
}
}
}
方法二 ：仿照整数的划分
首先，我们引进一个小小概念来方便描述吧，record[n][m]是把自然数划划分成所有元素不大于m的分法，例如：当n=4，m=1时，要求所有的元素都比m小，所以划分法只有1种：{1，1，1，1}；当n=4，m=2时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有3种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2}；当n=4，m=3时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有4种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2},{3,1}；当n=4，m=5时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有5种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2},{3,1},{4}；从上面我们可以发现：当n==1||m==1时，只有一种分法；当n<m时，由于分法不可能出现负数，所以record[n][m]=record[n][n];当n==m时，那么就得分析是否要分出m这一个数，如果要分那就只有一种{m}，要是不分，那就是把n分成不大于m-1的若干份；即record[n][n]=1+record[n][n-1];当n>m时，那么就得分析是否要分出m这一个数，如果要分那就{{m},{x1,x2,x3..}}时n-m的分法record[n-m][m]，要是不分，那就是把n分成不大于m-1的若干份；即record[n][n]=record[n-m][m]+record[n][m-1];那么其递归式：//dp[i][j]将整数i划分为最大不超过j的
AC代码：
import java.util.Scanner;
public class Main{
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n;
int record[][]=new int[32768+2][4];
while(scan.hasNextInt()){
n=scan.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=3;j++){
if(i==1||j==1){
record[i][j]=1;
}else if(i<j){
record[i][j]=record[i][i];
}else if(i==j){
record[i][j]=1+record[i][j-1];
}else if(i>j){
record[i][j]=record[i-j][j]+record[i][j-1];
}
}
}
System.out.println(record[n][3]);
}
}
}
第三种递归实现：
所有的dp的本质是递归，先设计暴力算法 找到冗余 第二步设计并存储状态 第三部递归式 自底向上计算最优解
先写出暴力的解法
import java.util.Scanner;
public class Main{
/**
* @param args
*/
static int n;
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan=new Scanner(System.in);
while(scan.hasNext()){
n=scan.nextInt();
System.out.println(sovled(n,3));
}
}
private static int sovled(int n, int m) {
// TODO Auto-generated method stub
if(m<1||n<1){
return 0;
}
if(n==1||m==1){
return 1;
}
if(n<m){
return sovled(n,n);//每个判断可以参照上面的给出的解释
}
if(n==m){
return m;
}
return sovled(n, m - 1)+sovled(n-m,m);
}
} 果然不出意外 超时了 然后去点程序中的冗余：
8
sovled(8,3)
sovled(8,2)
sovled(8,1)
sovled(6,2)
sovled(6,1)
sovled(4,2)
sovled(4,1)
sovled(2,2)
sovled(5,3)
sovled(5,2)
sovled(5,1)
sovled(3,2)
sovled(3,1)
sovled(1,2)
sovled(2,3)
sovled(2,2) 这是输入8所执行的sovled 明显的可以看出sovled(2,2)执行了两次 当数小的时候感觉不出来
当数很大的时候就会重复计算很多次 这时就需要用数组 去存储计算过的结果 这也叫记忆化搜索
AC代码
import java.util.Scanner;
public class Main{
/**
* @param args
*/
static int n;
static int cnt[][]=new int[32768][4];
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan=new Scanner(System.in);
while(scan.hasNext()){
n=scan.nextInt();
System.out.println(sovled(n,3));
}
}
private static int sovled(int n, int m) {
// TODO Auto-generated method stub
if(m<1||n<1){
return 0;
}
if(cnt[n][m]>0){
return cnt[n][m];
}
if(n==1||m==1){
return 1;
}
if(n<m){
return sovled(n,n);
}
if(n==m){
return m;
}
return cnt[n][m]=sovled(n, m - 1)+sovled(n-m,m);
}
}
