作者：chen_h 微信号 & QQ：862251340 微信公众号：coderpai 简书地址：https://www.jianshu.com/p/d94e40e2df81
这篇教程是翻译Peter Roelants写的神经网络教程，作者已经授权翻译，这是原文。
该教程将介绍如何入门神经网络，一共包含五部分。你可以在以下链接找到完整内容。
（一）神经网络入门之线性回归Logistic分类函数（二）神经网络入门之Logistic回归（分类问题）（三）神经网络入门之隐藏层设计Softmax分类函数（四）神经网络入门之矢量化（五）神经网络入门之构建多层网络这部分教程将介绍一部分： * Logistic分类模型
我们在上次的教程中给出了一个很简单的模型，只有一个输入和一个输出。在这篇教程中，我们将构建一个二分类模型，输入参数是两个变量。这个模型在统计上被称为Logistic回归模型，网络结构可以被描述如下：
我们先导入教程需要使用的软件包。
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib.colors import colorConverter, ListedColormap from matplotlib import cm在教程中，目标分类t将从两个独立分布中产生，当t=1时，用蓝色表示。当t=0时，用红色表示。输入参数X是一个N*2的矩阵，目标分类t是一个N * 1的向量。更直观的表现，见下图。
# Define and generate the samples nb_of_samples_per_class = 20 # The number of sample in each class red_mean = [-1,0] # The mean of the red class blue_mean = [1,0] # The mean of the blue class std_dev = 1.2 # standard deviation of both classes # Generate samples from both classes x_red = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + red_mean x_blue = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + blue_mean # Merge samples in set of input variables x, and corresponding set of output variables t X = np.vstack((x_red, x_blue)) t = np.vstack((np.zeros((nb_of_samples_per_class,1)), np.ones((nb_of_samples_per_class,1)))) # Plot both classes on the x1, x2 plane plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], 'ro', label='class red') plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], 'bo', label='class blue') plt.grid() plt.legend(loc=2) plt.xlabel('$x_1$', fontsize=15) plt.ylabel('$x_2$', fontsize=15) plt.axis([-4, 4, -4, 4]) plt.title('red vs. blue classes in the input space') plt.show()我们设计的网络的目的是从输入的x去预测目标t。假设，输入x = [x1, x2]，权重w = [w1, w2]，预测目标t = 1。那么，概率P(t = 1|x, w)将是神经网络输出的y，即y = σ(x∗wT)。其中，σ表示Logistic函数，定义如下：
如果，对于Logistic函数和它的导数还不是很清楚的，可以查看这个教程，里面进行了详细描述。
对于这个分类问题的损失函数优化，我们使用交叉熵误差函数来解决，对于每个训练样本i，交叉熵误差函数定义如下：
如果我们要计算整个训练样本的交叉熵误差，那么只需要把每一个样本的值进行累加就可以了，即：
关于交叉熵误差函数更加详细的介绍可以看这个教程。
logistic(z)函数实现了Logistic函数，cost(y, t)函数实现了损失函数，nn(x, w)实现了神经网络的输出结果，nn_predict(x, w)实现了神经网络的预测结果。
# Define the logistic function def logistic(z): return 1 / (1 + np.exp(-z)) # Define the neural network function y = 1 / (1 + numpy.exp(-x*w)) def nn(x, w): return logistic(x.dot(w.T)) # Define the neural network prediction function that only returns # 1 or 0 depending on the predicted class def nn_predict(x,w): return np.around(nn(x,w)) # Define the cost function def cost(y, t): return - np.sum(np.multiply(t, np.log(y)) + np.multiply((1-t), np.log(1-y))) # Plot the cost in function of the weights # Define a vector of weights for which we want to plot the cost nb_of_ws = 100 # compute the cost nb_of_ws times in each dimension ws1 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 1 ws2 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 2 ws_x, ws_y = np.meshgrid(ws1, ws2) # generate grid cost_ws = np.zeros((nb_of_ws, nb_of_ws)) # initialize cost matrix # Fill the cost matrix for each combination of weights for i in range(nb_of_ws): for j in range(nb_of_ws): cost_ws[i,j] = cost(nn(X, np.asmatrix([ws_x[i,j], ws_y[i,j]])) , t) # Plot the cost function surface plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, cmap=cm.pink) cbar = plt.colorbar() cbar.ax.set_ylabel('$\\xi$', fontsize=15) plt.xlabel('$w_1$', fontsize=15) plt.ylabel('$w_2$', fontsize=15) plt.title('Cost function surface') plt.grid() plt.show()梯度下降算法的工作原理是损失函数ξ对于每一个参数的求导，然后沿着负梯度方向进行参数更新。
参数w按照一定的学习率沿着负梯度方向更新，即w(k+1)=w(k)−Δw(k+1)，其中Δw可以表示为：
对于每个训练样本i，∂ξi/∂w计算如下：
其中，yi=σ(zi)是神经元的Logistic输出，zi=xi∗wT是神经元的输入。
在详细推导损失函数对于权重的导数之前，我们先这个教程中摘取几个推导。
参考上面的分步推导，我们可以得到下面的详细推导：
因此，对于每个权重的更新Δwj可以表示为：
在批处理中，我们需要将N个样本的梯度都进行累加，即：
在开始梯度下降算法之前，你需要对参数都进行一个随机数赋值过程，然后采用梯度下降算法更新参数，直至收敛。
gradient(w, x, t)函数实现了梯度∂ξ/∂w，delta_w(w_k, x, t, learning_rate)函数实现了Δw。
# define the gradient function. def gradient(w, x, t): return (nn(x, w) - t).T * x # define the update function delta w which returns the # delta w for each weight in a vector def delta_w(w_k, x, t, learning_rate): return learning_rate * gradient(w_k, x, t)我们在训练集X上面运行10次去做预测，下图中画出了前三次的结果，图中蓝色的点表示在第k次，w(k)的值。
# Set the initial weight parameter w = np.asmatrix([-4, -2]) # Set the learning rate learning_rate = 0.05 # Start the gradient descent updates and plot the iterations nb_of_iterations = 10 # Number of gradient descent updates w_iter = [w] # List to store the weight values over the iterations for i in range(nb_of_iterations): dw = delta_w(w, X, t, learning_rate) # Get the delta w update w = w-dw # Update the weights w_iter.append(w) # Store the weights for plotting # Plot the first weight updates on the error surface # Plot the error surface plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, alpha=0.9, cmap=cm.pink) cbar = plt.colorbar() cbar.ax.set_ylabel('cost') # Plot the updates for i in range(1, 4): w1 = w_iter[i-1] w2 = w_iter[i] # Plot the weight-cost value and the line that represents the update plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], 'bo') # Plot the weight cost value plt.plot([w1[0,0], w2[0,0]], [w1[0,1], w2[0,1]], 'b-') plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, '$w({})$'.format(i), color='b') w1 = w_iter[3] # Plot the last weight plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], 'bo') plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, '$w({})$'.format(4), color='b') # Show figure plt.xlabel('$w_1$', fontsize=15) plt.ylabel('$w_2$', fontsize=15) plt.title('Gradient descent updates on cost surface') plt.grid() plt.show()下列代码，我们将训练的结果进行可视化。
# Plot the resulting decision boundary # Generate a grid over the input space to plot the color of the # classification at that grid point nb_of_xs = 200 xs1 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs) xs2 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs) xx, yy = np.meshgrid(xs1, xs2) # create the grid # Initialize and fill the classification plane classification_plane = np.zeros((nb_of_xs, nb_of_xs)) for i in range(nb_of_xs): for j in range(nb_of_xs): classification_plane[i,j] = nn_predict(np.asmatrix([xx[i,j], yy[i,j]]) , w) # Create a color map to show the classification colors of each grid point cmap = ListedColormap([ colorConverter.to_rgba('r', alpha=0.30), colorConverter.to_rgba('b', alpha=0.30)]) # Plot the classification plane with decision boundary and input samples plt.contourf(xx, yy, classification_plane, cmap=cmap) plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], 'ro', label='target red') plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], 'bo', label='target blue') plt.grid() plt.legend(loc=2) plt.xlabel('$x_1$', fontsize=15) plt.ylabel('$x_2$', fontsize=15) plt.title('red vs. blue classification boundary') plt.show()完整代码，点击这里
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