顺便学习了下线性筛（欧拉筛）：
http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html
http://blog.csdn.net/leolin_/article/details/6642126
Eratosthennes筛法时间复杂度为O（nlogn），用每一个素数去筛它的倍数，即筛去它的合数，显然这样有些合数被重复筛了很多次，如果能保证每个合数只被筛一次（只被枚举一次），那就可以O（n）了。
一个定理：任何一个合数都可以表示成一个质数和一个数的乘积
这是显然的。用唯一分解定理就可以证明了。
线性筛（欧拉筛）就是利用了这个定理，对于每一个合数，我们只用它最小的质因子去筛它。为了达到这个目的，循环的顺序就至关重要。
我们先从小到大枚举所有数，然后再从小到大枚举所有已经找到的质数（这个质数自然<=这个数）
然后筛掉i*prime[j]。
如果只是这样做那么时间复杂度为O（∑i/lni），不会算。。。只知道实际时间和Eratosthennes筛法差不多。
但是如果我们在第二层循环中加一句：
if(i%prime[j]==0)break; 那么不但正确性可以保证，而且时间复杂度降为O（n）。正确性：
1、保证每个合数依然还是会被筛掉。
退出后，我们少筛了i*prime[j+k],1<=k，即没有用prime[j+k]去筛这个合数。
由 i%prime[j]==0 得： i*prime[j+k]=(prime[j]*x)*prime[j+k]=prime[j]*(x*prime[j+k])，其中x是某个正整数。
即i*prime[j+k]这个合数可以被一个更小的质数prime[j]筛掉，所以以后枚举到更大的i时一定也会筛掉这个合数。
2、保证每个合数能被及时的筛掉。
这句话的意思是说，如果不能及时筛掉的话，我们就会误认为它是质数，然后把它误加入到素数表中。
如果这个数是个合数，根据唯一分解定理，一定能分解成多个n个素数的乘积，n>=2，那么这个合数之前肯定会被它最小的那个素因子筛掉。
时间复杂度:
每个合数会且仅会被最小的素因子筛去，而且只枚举一遍，所以总的时间复杂度为O（n）。
还有一些值得注意的东西：
虽然说Eratosthennes筛法时间复杂度为O（nlogn），但更准确的说法应该是Eratosthennes筛法时间复杂度介于O（n）和O（nlogn）之间，因为O（nlogn）的算法是不带任何优化的，优化后的代码在实战中效果很好，当n=1e6时，非线性部分带来的差距只有2~3倍。不带break语句的线性筛也是这个复杂度，即只比线性的增长快一点，只不过线性算法就是纯纯的O（n）了。详见紫书P312上时间复杂度的分析吧。
一些思考过程中用来分析的代码
#include <cstring> #include<stdio.h> #include<math.h> using namespace std; const int maxn = 1e8; int sb; int cnt; int prime[maxn],primesize,phi[maxn]; bool isprime[maxn]; void getlist(int listsize) { memset(isprime,1,sizeof(isprime)); isprime[1]=false; for(int i=2;i<=listsize;i++) { if(isprime[i])prime[++primesize]=i; for(int j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++) { cnt++; if(isprime[i*prime[j]]==false) sb++; isprime[i*prime[j]]=false; //if(i%prime[j]==0)break; } //puts(""); } printf("计算量：%d\n",cnt); printf("重复数：%d\n",sb); printf("质数个数：%d\n",primesize); } void print() { for(int i=0;i<primesize;i++) printf("%d\n",prime[i]); } void eratosthenes(int n) { for(int i=2;i<n;i++) isprime[i]=1; int m=sqrt(n+0.5); for(int i=2;i<=m;i++) { if(isprime[i]) { prime[++primesize]=i; for(int j=2*i;j<n;j+=i) { cnt++; if(isprime[j]==0) sb++; isprime[j]=0; } } } printf("计算量：%d\n",cnt); printf("重复数：%d\n",sb); printf("质数个数：%d\n",primesize); } int main() { //getlist(1000000); eratosthenes(100000000); //print(); return 0; }