四元数被广泛应用于四轴飞行器的姿态解算与姿态控制中，跟欧拉角相比具有许多优点，如计算量小，且不会有万像锁的问题 。
四元数可以表示如下：
q=[wxyz]=cos(θ)+u^sin(θ)
其中
u^=[uxuyuz]
表示旋转轴，
θ
表示绕旋转轴逆时针旋转的角度。对应的，四元数的各个参数可以表示如下：
wxyz=cos(θ2)=uxsin(θ2)=uysin(θ2)=uzsin(θ2)
设当前姿态四元数为
qc
，目标姿态四元数为
qt
，从当前姿态旋转到目标姿态对应的姿态差四元数为
qd
. 根据四元数的乘法，我们先做当前四元数的旋转，再做姿态差旋转即可得到目标姿态四元数，即：
(qdqc)v^(qdqc)∗⇔qdqc⇔qdqcq−1c⇔qd⟺|qc|2=1qd=qtv^q∗t=qt=qtq−1c=qtq−1c=qtq∗c
得到姿态差
qd=[wdxdydzd]
后，根据四元数所表示的旋转意义，可以知道
xd
,
yd
,
zd
分别表示各旋转轴分量与转角
sin(θ2)
的乘积. 所以我们可以近似用
xd
,
yd
,
zd
来表示绕各个轴旋转的姿态误差，作为PID的误差输入进行控制.
