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思路:
感谢大佬!
在基本的拓扑排序的基础上又增加了一个要求：编号最小的节点要尽量排在前面；在满足上一个条件的基础上，编号第二小的节点要尽量排在前面；在满足前两个条件的基础上，编号第三小的节点要尽量排在前面……依此类推。（注意，这和字典序是两回事，不可以混淆。）
如图 1 所示，满足要求的拓扑序应该是：6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。
图 1 一个拓扑排序的例子
一般来说，在一个有向无环图中，用 BFS 进行拓扑排序是比较常见的做法，如算法 1 所示。但是它不一定能得到本题要求的拓扑序。
1. 把所有入度为 0 的节点放进队列 Q
2. WHILE： Q 不是空队列
3. 从 Q 中取出队列首元素 a，把 a 添加到答案的尾部。
4. FOR：所有从 a 出发的边 a → b
5. 把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进队列 Q。
算法 1 用 BFS 进行拓扑排序
为了解决本问题，下面让我来探究一下拓扑序的一些性质。以图 1 为例，节点 0 毫无疑问排在最后。除了节点 0 以外，有三条互相平行的路径：6 → 4 → 1、 3 → 9 → 2 和 5 → 7 → 8。一条路径上的各个节点的先后关系都是不能改变的，比如路径 6 → 4 → 1 上的三个节点在拓扑序中，一定是 6 在最前，1 在最后。但是，互相平行的各条路径，在总的拓扑序中任意交错都是合法的。比如，以下都是图 1 的合法拓扑序：
6 4 1 3 9 2 5 7 8 0、 3 6 9 4 5 1 7 8 2 0、 5 6 4 7 3 8 1 9 2 0、 3 5 6 4 1 7 9 2 8 0、 6 5 7 8 4 3 9 2 1 0。
怎么才能找出题目要求的拓扑序呢？在这里，我想用字典序最先的拓扑序来引出这个算法。算法 2 可以求出字典序最先的拓扑序。
1. 把所有入度为 0 的节点放进优先队列 PQ
2. WHILE： PQ 不是空队列
3. 从 PQ 中取出编号最小的元素 a，把 a 添加到答案的尾部。
4. FOR：所有从 a 出发的边 a → b
5. 把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进优先队列PQ。
算法 2 求出字典序最先的拓扑序
可见，算法 2 和算法 1 基本一样，只是把队列改成了优先队列。用它求出的图 1 的字典序最先的拓扑序为：3 5 6 4 1 7 8 9 2 0。但是这显然不是本题要求的答案，因为节点 1 的位置还不够靠前。
算法 2 可以算是一个贪心算法，每一步都找编号最小的节点。但是对于图 1 中的三条路径，头的编号比较小的，不一定要先出队列。正确的步骤应该如下：
节点 0 的位置是铁定在最后的，不用考虑。只考虑剩下的三条路径。先找编号最小的，节点 1。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1，这样， 节点 1 就尽量靠前了。再找剩下的节点中编号最小的，节点 2。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1 3 9 2 ，这样，节点 2 就尽量靠前了。只剩下一条路径了，只能依次把其中的节点拿出来。最后答案就是 6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。显然，算法 2 的贪心策略对于这个问题是不可行的。不能着眼于每条路径的头，而是要找编号最小的节点在哪条路径上，优先把这条路径拿出来。但问题在于，在 BFS 的过程中，我们只能看到每条路径的头，看不到后面的节点，这该怎么办呢？
让我们换个角度想一想，节点 3 和 6，应该是 6 先出队列，因为节点 1 在 6 的后面。这和节点 3 和 6 的编号大小没有任何关系。但是，再看另外两条路径的尾部，节点 2 和 8，可以肯定地说，2 一定先出队列，因为它们后面都没有别的节点了，这个时候完全以这两个节点本身的编号大小决定顺序。归纳起来就是说，对于若干条平行的路径，小的头部不一定排在前面，但是大的尾部一定排在后面。于是，就有了算法 3。
1. 把所有出度为 0 的节点放进优先队列 PQ 2. WHILE： PQ 不是空队列 3. 从 PQ 中取出编号最大的元素 a，把 a 添加到答案的头部。 4. FOR：所有指向 a 的边 b → a 5. 把 b 的出度减 1。如果 b 的出度变为 0，则把 b 放进优先队列PQ。
算法 3 求出本题目要求的拓扑序
#include<bits/stdc++.h> #define Ri(a) scanf("%d", &a) #define Rl(a) scanf("%lld", &a) #define Rf(a) scanf("%lf", &a) #define Rs(a) scanf("%s", a) #define Pi(a) printf("%d\n", (a)) #define Pf(a) printf("%lf\n", (a)) #define Pl(a) printf("%lld\n", (a)) #define Ps(a) printf("%s\n", (a)) #define W(a) while(a--) #define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a)) #define MOD 1000000007 #define inf 0x3f3f3f3f #define exp 0.00000001 #define pii pair<int, int> #define mp make_pair #define pb push_back using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e5+10; int ans[maxn]; int n,m; int t; vector<int>vt[maxn]; int in[maxn]; void bfs() { priority_queue<int>Q; CLR(ans,0); int len=0; for(int i=1;i<=n;i++) { if(in[i]==0) Q.push(i); } while(!Q.empty()) { int tt=Q.top(); Q.pop(); ans[len++]=tt; for(int i=0;i<vt[tt].size();i++) { int v=vt[tt][i]; in[v]--; if(in[v]==0) Q.push(v); } } for(int i=n-1;i>0;i--) printf("%d ",ans[i]); printf("%d\n",ans[0]); return ; } int main() { Ri(t); W(t) { Ri(n),Ri(m); for(int i=0;i<=n;i++) in[i]=0,vt[i].clear(); for(int i=1;i<=m;i++) { int a,b; Ri(a),Ri(b); vt[b].pb(a); in[a]++; } bfs(); } return 0; } Marcus-Bao 认证博客专家 推荐系统 ACM算法竞赛 机器学习 本科毕业于国内知名四非大学，现中国科学院大学博士生，中国科学院计算技术研究所vipl实验室，老年ACM铁牌退役选手，喜欢算法竞赛，会点数据结构和算法，熟悉c++，python等；现阶段研究方向主要为机器学习与数据挖掘，比较关注推荐系统，发过顶会，炼过丹，平时博客主要记录些关于算法、数据结构，人工智能技术以及平时看的论文总结分享等，欢迎大家关注我，一起多多交流共同进步！