3×3的矩阵，冗余，自身带有约束（正交矩阵，且行列式为1），在下一步的进一步优化的时候较为困难。
还是要补充下正交矩阵的定义：逆为自身转置的矩阵，一些典型的性质是（各行是单位向量且两两正交，各列是单位向量且两两正交）
一个转轴，一个旋转角，紧凑，与旋转矩阵之间可以通过罗德里格斯公式进行转换，后面也会涉及到这个公式；
偏航角，俯仰角，滚转角，紧凑，万向锁问题
无奇异性，四个自由度。
旋转向量—>(罗德里格斯公式)—>旋转矩阵；反之，通过旋转矩阵的迹，以及特征值为1的特征向量求解旋转向量；
其他转换不再记录，反正都是一系列的公式进行套就行了，只需要知道它们之间可以相互转换即可。
Eigen:使用的时候，只需要在CMakeLIsts.txt指定Eigen的头文件目录即可include_directoris()
Eigen的安装：sudo apat-get install libeigen3-dev
注意：这里一个计算时间的库ctime
include <iostream> using namespace std; #include <ctime> // Eigen 部分 #include <Eigen/Core> // 稠密矩阵的代数运算（逆，特征值等） #include <Eigen/Dense> #define MATRIX_SIZE 50 /**************************** * 本程序演示了 Eigen 基本类型的使用 ****************************/ int main( int argc, char** argv ) { // Eigen 中所有向量和矩阵都是Eigen::Matrix，它是一个模板类。它的前三个参数为：数据类型，行，列 // 声明一个2*3的float矩阵 Eigen::Matrix<float, 2, 3> matrix_23; // 同时，Eigen 通过 typedef 提供了许多内置类型，不过底层仍是Eigen::Matrix // 例如 Vector3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 1>，即三维向量 Eigen::Vector3d v_3d; // 这是一样的 Eigen::Matrix<float,3,1> vd_3d; // Matrix3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 3> Eigen::Matrix3d matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Zero(); //初始化为零 // 如果不确定矩阵大小，可以使用动态大小的矩阵 Eigen::Matrix< double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic > matrix_dynamic; // 更简单的 Eigen::MatrixXd matrix_x; // 这种类型还有很多，我们不一一列举 // 下面是对Eigen阵的操作 // 输入数据（初始化） matrix_23 << 1, 2, 3, 4, 5, 6; // 输出 cout << matrix_23 << endl; // 用()访问矩阵中的元素 for (int i=0; i<2; i++) { for (int j=0; j<3; j++) cout<<matrix_23(i,j)<<"\t"; cout<<endl; } // 矩阵和向量相乘（实际上仍是矩阵和矩阵） v_3d << 3, 2, 1; vd_3d << 4,5,6; // 但是在Eigen里你不能混合两种不同类型的矩阵，像这样是错的 // Eigen::Matrix<double, 2, 1> result_wrong_type = matrix_23 * v_3d; // 应该显式转换 Eigen::Matrix<double, 2, 1> result = matrix_23.cast<double>() * v_3d; cout << result << endl; Eigen::Matrix<float, 2, 1> result2 = matrix_23 * vd_3d; cout << result2 << endl; // 同样你不能搞错矩阵的维度 // 试着取消下面的注释，看看Eigen会报什么错 // Eigen::Matrix<double, 2, 3> result_wrong_dimension = matrix_23.cast<double>() * v_3d; // 一些矩阵运算 // 四则运算就不演示了，直接用+-*/即可。 matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Random(); // 随机数矩阵 cout << matrix_33 << endl << endl; cout << matrix_33.transpose() << endl; // 转置 cout << matrix_33.sum() << endl; // 各元素和 cout << matrix_33.trace() << endl; // 迹 cout << 10*matrix_33 << endl; // 数乘 cout << matrix_33.inverse() << endl; // 逆 cout << matrix_33.determinant() << endl; // 行列式 // 特征值 // 实对称矩阵可以保证对角化成功 Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> eigen_solver ( matrix_33.transpose()*matrix_33 ); cout << "Eigen values = \n" << eigen_solver.eigenvalues() << endl; cout << "Eigen vectors = \n" << eigen_solver.eigenvectors() << endl; // 解方程 // 我们求解 matrix_NN * x = v_Nd 这个方程 // N的大小在前边的宏里定义，它由随机数生成 // 直接求逆自然是最直接的，但是求逆运算量大 Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE > matrix_NN; matrix_NN = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE ); Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE, 1> v_Nd; v_Nd = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE,1 ); clock_t time_stt = clock(); // 计时 // 直接求逆 Eigen::Matrix<double,MATRIX_SIZE,1> x = matrix_NN.inverse()*v_Nd; cout <<"time use in normal inverse is " << 1000* (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC << "ms"<< endl; // 通常用矩阵分解来求，例如QR分解，速度会快很多 time_stt = clock(); x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd); cout <<"time use in Qr decomposition is " <<1000* (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC <<"ms" << endl; return 0; }CMakeLists.txt重要的是添加如下内容：
include_directories( "/usr/include/eigen3" )结果：
利用Eigen几何模块实现几种表达方式：
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; #include <Eigen/Core> // Eigen 几何模块 #include <Eigen/Geometry> /**************************** * 本程序演示了 Eigen 几何模块的使用方法 ****************************/ int main ( int argc, char** argv ) { // Eigen/Geometry 模块提供了各种旋转和平移的表示 // 3D 旋转矩阵直接使用 Matrix3d 或 Matrix3f Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity(); // 旋转向量使用 AngleAxis, 它底层不直接是Matrix，但运算可以当作矩阵（因为重载了运算符） Eigen::AngleAxisd rotation_vector ( M_PI/4, Eigen::Vector3d ( 0,0,1 ) ); //角度，旋转轴：沿 Z 轴旋转 45 度 cout .precision(3); cout<<"rotation matrix =\n"<<rotation_vector.matrix() <<endl; //用matrix()转换成矩阵 // 也可以直接赋值 rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix(); // 用 AngleAxis 可以进行坐标变换 Eigen::Vector3d v ( 1,0,0 ); Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v; cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl; // 或者用旋转矩阵 v_rotated = rotation_matrix * v; cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl; // 欧拉角: 可以将旋转矩阵直接转换成欧拉角 Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles ( 2,1,0 ); // ZYX顺序，即roll pitch yaw顺序 cout<<"yaw pitch roll = "<<euler_angles.transpose()<<endl; // 欧氏变换矩阵使用 Eigen::Isometry Eigen::Isometry3d T=Eigen::Isometry3d::Identity(); // 虽然称为3d，实质上是4＊4的矩阵 T.rotate ( rotation_vector ); // 按照rotation_vector进行旋转 T.pretranslate ( Eigen::Vector3d ( 1,3,4 ) ); // 把平移向量设成(1,3,4) cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix() <<endl; // 用变换矩阵进行坐标变换 Eigen::Vector3d v_transformed = T*v; // 相当于R*v+t cout<<"v tranformed = "<<v_transformed.transpose()<<endl; // 对于仿射和射影变换，使用 Eigen::Affine3d 和 Eigen::Projective3d 即可，略 // 四元数 // 可以直接把AngleAxis赋值给四元数，反之亦然 Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond ( rotation_vector ); cout<<"quaternion = \n"<<q.coeffs() <<endl; // 请注意coeffs的顺序是(x,y,z,w),w为实部，前三者为虚部 // 也可以把旋转矩阵赋给它 q = Eigen::Quaterniond ( rotation_matrix ); cout<<"quaternion = \n"<<q.coeffs() <<endl; // 使用四元数旋转一个向量，使用重载的乘法即可 v_rotated = q*v; // 注意数学上是qvq^{-1} cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl; return 0; }
CMakeLists.txt文件：
cmake_minimum_required( VERSION 2.8 ) project( geometry ) # 添加Eigen头文件 include_directories( "/usr/include/eigen3" ) add_executable( eigenGeometry eigenGeometry.cpp )结果：
