从一维到二维:最大子段和和最大子矩阵和

首先我们看这道题.接下来再看这道题.

终于回到了过往,我们将重新走上 dp d p 这条路.

首先我们看这道题.

给出一串数列,求最大的子段和. 我们举个栗子.

7 1 2 3 -5 4 3 -6

这个样例的答案是8,前6个数相加是最大的. 显然本题是一个dp了. 定义dp[i]为以第i个数结尾的最大子段和,最后把dp[1 to n]全部处理一遍取其中的最大值即可.

/* 因为第i个数一定要取,所以前面必然会有一个问题:第i-1个数取不取? 那么显然如果前i-1个数的和<0,我们就不要它们,只取第i个数. 同理,如果在前面某一个位置p中有sum(a[1 to p-1])<0,前p-1个数就不要,接下来的答案就从第p个开始计数了. 那么我们可以推出状态的转移方程:dp[i]=max(a[i],a[i]+dp[i-1]); 这样只要直接线性跑一遍就可以了,复杂度O(n). */ int main(){ for (int i=1;i<=n;++i){ dp[i]=max(a[i],a[i]+dp[i-1]); ans=max(ans,dp[i]); }printf("%d",ans); }

接下来再看这道题.

给出一个矩阵.求最大子矩阵和. 举例:51Nod 1051

3 3 -1 3 -1 2 -1 3 -3 1 2

这个样例答案是7. 即使做完上面这题,看到下面也是没法一下子就秒掉的. 那现在只能把一维中的做法推广到二维了.

/* 首先对于每一列都求一下前缀和.请大家进行脑补求完之后的样子. 然后我们n^2枚举两行.接下来把这两行之间夹的每一列的和求出来,差分减一下就可以了. 最后神奇的事情发生了.算出来的每一列的和变成了一条一维的数列,可以用刚才的最大子段和的思想算出最大值. 对于所有情况算出最大的结果即可.代码如下,复杂度O(n^3). */ #include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious namespace chtholly{ typedef long long ll; #define re0 register int #define rec register char #define rel register ll #define gc getchar #define pc putchar #define p32 pc(' ') #define pl puts("") /*By Citrus*/ inline int read(){ int x=0,f=1;char c=gc(); for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-'; for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0'); return f?x:-x; } template <typename mitsuha> inline bool read(mitsuha &x){ x=0;int f=1;char c=gc(); for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-'; if (!~c) return 0; for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0'); return x=f?x:-x,1; } template <typename mitsuha> inline int write(mitsuha x){ if (!x) return 0&pc(48); if (x<0) x=-x,pc('-'); int bit[20],i,p=0; for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10; for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48); return 0; } inline char fuhao(){ char c=gc(); for (;isspace(c);c=gc()); return c; } }using namespace chtholly; using namespace std; const int _=500; ll a[_|1][_|1],dp[_|15]; int main(){ int i,j,k,m=read(),n=read(); for (i=1;i<=n;++i){ for (j=1;j<=m;++j){ a[i][j]=a[i-1][j]+read(); } }//求前缀和. ll llx=0; for (i=1;i<=n;++i){ for (j=i;j<=n;++j){//枚举两行 memset(dp,0,sizeof dp);//清空dp数组 for (k=1;k<=m;++k){ ll r=a[j][k]-a[i-1][k];//这两行之间所夹的列的和. dp[k]=max(r,r+dp[k-1]);//同样的操作 llx=max(llx,dp[k]);//取个最大值 } } }write(llx); }

好的,谢谢大家.