目录

1. 逻辑回归简介2. 逻辑回归模型2.1 假设函数2.2 损失函数推导2.3 损失函数模型求解 正则化方法L2正则化(ℓ2 -norm)L1正则化(ℓ1 -norm)[弹性网络](https://mp.weixin.qq.com/s/jjRM4B7OoClofrccUn5LFQ) 逻辑回归的优缺点优点缺点 sklearn.linear_model.LogisticRegression参数说明逻辑回归处理多分类问题OvO(One vs One)OvR(One vs Rest)MvM(Many vs Many) 类别不平衡问题参考文献

1. 逻辑回归简介

线性回归的模型是求出真实值Y和输入样本的特征X之间的线性关系系数$\theta$,最终求得线性回归模型$Y=X\theta$.当给出新的特征时， 我们希能够带入到$Y=X\theta$中，求出预测值Y是连续值。归为回归模型。 当Y是离散值时，我们就需要对线性回归模型的Y做一次函数变换，将连续值转换成离散值。这时我们就引入逻辑回归。 逻辑回归（LogisticRegression）也叫对数几率回归。 机器学习算法可以分为回归算法和分类算法，逻辑回归算法并不是回归算法，仅为在线性回归的基础上，套用了一个逻辑函数 ，用来解决分类问题，因此将它归为分类算法。

2. 逻辑回归模型

逻辑回归可以解决二分类问题，也可以解决多分类问题。这里先讲述二分类问题，多分类问题待补充。 在逻辑回归（二分类)中，我们一般用sigmoid函数将连续值转换成离散值，实现二分类。 为什么要用sigmoid函数作为假设函数

2.1 假设函数

用sigmoid函数作为假设函数

sigmoid函数形式如下：

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

sigmoid函数的导数形式如下： $$g^{{}^{\prime }}(z)=g(z)(1-g(z))=\frac{e^{-z}}{(1+e^{(-z)}{)}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

sigmoid函数图像：

sigmoid函数的性质： $x>0$时，$y$趋于1； $x=0$时，$y=0.5$； $x<0$时，$y$趋于0；

数据集 $$Y=\left(\begin{array}{cc}& y^1\\ & y^2\\ & \cdots \\ & y^i\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$ $$\begin{array}{r}X=\left(\begin{array}{cccccc}& x_1^1,& x_2^1,& x_3^1,& \cdots ,& x_n^1\\ & x_1^2,& x_2^2,& x_3^2,& \cdots & x_n^2\\ & \cdots & & & & \\ & x_1^i,& x_2^i,& x_3^i,& \cdots & x_n^i\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$ $$\begin{array}{r}{X}_b=\left(\begin{array}{ccccccc}& 1,& x_1^1,& x_2^1,& x_3^1,& \cdots ,& x_n^1\\ & 1,& x_1^2,& x_2^2& x_3^2,& \cdots & x_n^2\\ & \cdots & & & & & \\ & 1,& x_1^i,& x_2^i,& x_3^i& \cdots & x_n^i\end{array}\right)\end{array}$$ $$Y=X_b\theta$$ 最终要求的模型参数$$\theta =\left(\begin{array}{cc}& {\theta }_0\\ & {\theta }_1\\ & \cdots \\ & {\theta }_n\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$

$${\theta }_0为截距$$ 令$z={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_n{x}_n=X^i\theta$得： 构造假设函数，假设数据服从伯努利分布：

$$\hat{p}=h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{1+e^{-X^i\theta }}\text{\hspace{1em}(5)}$$ $$y=\{\begin{array}{ll}1& \hat{p}⩾0.5,即X^i\theta ⩾0\\ 0& \hat{p}<0.5,即X^i\theta <0\end{array}$$ $h_{\theta }(x)\in [0,1]$,假设$h_{\theta }(x)$是样本$x$为正例的可能性，$1-h_{\theta }(x)$是样本$x$为反例的可能性

正例：($y=1$)：$P(y=1|x；\theta )=h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-X^i\theta }}$ 反例：($y=0$)：$P(y=0|x；\theta )=1-h_{\theta }(x)=1-\frac{1}{1+e^{-X^i\theta }}$

两者的比值对数称为对数几率：$$ln\frac{h_{\theta }(x)}{1-h_{\theta }(x)}$$ 决策边界： $$X^i\theta =0.5$$

如果X有两个特征则${\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2=0$$x_2=\frac{-{\theta }_0-{\theta }_1{x}_1}{{\theta }_2}$

2.2 损失函数推导

损失函数是基于极大似然估计 得到的

将上述概率合并，得：$$P(y|x;\theta )=[h_{\theta }(x){]}^y[1-h_{\theta }(x){]}^{1-y}$$构造逻辑回归模型的似然函数为：$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{m}p(y=1|x_i{)}^{y^{(i)}}p(y=0|x_i{)}^{1-y^{(i)}}\text{\hspace{1em}(7)}$$$l(\theta )$为样本的似然函数，有${\theta }^{\ast }$使得$l(\theta )$的取值最大，那么${\theta }^{\ast }$就叫做参数$\theta$的极大似然估计值对数似然函数：$$l(\theta )=\sum _{i=1}^m[y^{(i)}lnp(y=1|x_i)+(1-y^{(i)})lnp(y=0|x_i)]\text{\hspace{1em}(8)}$$化简 $$l(\theta )=\sum _{i=1}^m[y^{(i)}ln{h}_{\theta }(x)+(1-y^{(i)})ln(1-h_{\theta }(x))]$$ 令每个样本属于其真实标记的概率越大越好，$l(\theta )$是高阶连续可到的凸函数，

取对数的原因： 根据前面你的似然函数公式，是一堆的数字相乘，这种算法求导会非常麻烦，而取对数是一种很方便的手段，由于ln对数属于单调递增函数，因此不会改变极值点，由于对数的计算法则：$ln{a}^b=blna,lnab=lna+lnb$,这样求导就很方便了。

2.3 损失函数

求最大似然函数，就是损失函数（对似然函数先取负号）最小化。所以加个负号就成了损失函数；最小化损失函数可以梯度下降法求解。 除以样本数m —— 数量越多误差越大，所以平滑一下 $$\begin{array}{rl}& J(\theta )=-\frac{1}{m}l(\theta )\\ & =-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}ln{h}_{\theta }(x)+(1-y^{(i)})ln(1-h_{\theta }(x))]\\ & =-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}log(\hat{p})+(1-y^{(i)})log(1-\hat{p})]\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

模型求解

模型求解的过程实际上就是求损失函数最小时的参数$\theta$,求解的方法有梯度下降法，坐标轴下降法，牛顿法等，这里用梯度下降法推导！！！

对损失函数求导$$▽J(\theta )=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_0}\\ \frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_1}\\ \cdots \\ \frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_n}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(10)}$$对$\hat{p}$求导$${\hat{p}}^{{}^{\prime }}=h_{\theta }^{{}^{\prime }}(x)=\frac{e^{-X^i\theta }}{(1+e^{(-X^i\theta )}{)}^2}\text{\hspace{1em}(10)}$$$对log[h_{\theta }(x^i)]求导$$$\begin{array}{rl}& log[h_{\theta }(x^i){]}^{{}^{\prime }}\\ & =\frac{1}{h_{\theta }(x^i)}\cdot h_{\theta }(x^i{)}^{{}^{\prime }}\\ & =(1+e^{-X^i\theta })(1+e^{-X^i\theta }{)}^{-2}\cdot e^{-X^i\theta }\\ & =(1+e^{-X^i\theta }{)}^{-1}\cdot e^{-X^i\theta }\\ & =\frac{e^{-X^i\theta }}{1+e^{-X^i\theta }}\\ & =1-\frac{1}{1+e^{-X^i\theta }}\\ & =1-h_{\theta }(x^i)\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$$对log[1-h_{\theta }(x^i)]求导$ $$\begin{array}{rl}& log[1-h_{\theta }(x^i){]}^{{}^{\prime }}\\ & =\frac{1}{1-h_{\theta }(x^i)}\cdot (-1)\cdot h_{\theta }(x^i{)}^{{}^{\prime }}\\ & =-\frac{1+e^{-x^i}}{e^{-x^i}}\cdot (1+e^{-x^i}{)}^{-2}\cdot e^{-x^i}\\ & =-h_{\theta }(x^i)\\ & \end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$对$(1-y^{(i)})log[1-h_{\theta }(x^i)]$求导 $$\begin{array}{rl}& \frac{d[(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta }(x^i)]}{d{\theta }_j}\\ & =(1-y^{(i)})\cdot (-h_{\theta }(x^i))\cdot X_j^{(i)}\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$对$y^{(i)}log(h_{\theta }(x^i))]$求导 $$\begin{array}{rl}& \frac{d[y^{(i)}log(h_{\theta }(x^i))]}{d{\theta }_j}\\ & =y^{(i)}(1-h_{\theta }(x^i))\cdot X_j^{(i)}\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$

最终求化简结果$$\begin{array}{rl}& \frac{J(\theta )}{{\theta }_j}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^i)-y^{(i)})X_j^{(i)}\\ & =-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})X_j^{(i)}\end{array}\text{\hspace{1em}(16)}$$

梯度下降法中的更新公式：$${\theta }_j={\theta }_j-\frac{\alpha }{m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})X_j^{(i)}\text{\hspace{1em}(18)}$$

$$i=1,2,3,\cdots ,m$$

$$j=1,2,3,\cdots ,n$$

$$\alpha 为学习率$$

正则化方法

为防止模型过拟合，提高模型的泛化能力，通常会在损失函数的后面添加一个正则化项。L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓【惩罚】是指对损失函数中的某些参数做一些限制

L2正则化(ℓ2 -norm)

使用L2正则化的模型叫做Ridge Regularization（岭回归）,直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的平方和： 令损失函数为$J_0$，则Ridge Regularization为： $$J=J_0+\frac{1}{2}\eta \sum _{i=1}^n{\theta }^2\text{\hspace{1em}(5)}$$ 使最终的损失函数最小，要考虑$J_0$和$$L_2=\frac{1}{2}\eta \sum _{i=1}^n{\theta }^2\text{\hspace{1em}(6)}$$两个因素，最终的损失函数就是求等高 圆圈+黑色圆圈的和的最小值。由图可知两个圆相交时，$J$取得最小值。

为什么$L_2$正则化项能够防止过拟合的情况？ 对损失函数的参数优化求解过程进行分析 $$\frac{\partial J}{\partial \theta }=\frac{\partial J_0}{\partial \theta }+\alpha \theta \text{\hspace{1em}(7)}$$

$$\frac{\partial J}{\partial b}=\frac{\partial J}{\partial b}\text{\hspace{1em}(8)}$$ 可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于$\theta$的更新有影响: $$\theta \to \theta -\eta \sum _{i=1}^m\frac{\partial J_i}{\partial \theta }-\eta \alpha \theta$$

$$=(1-\eta \alpha )\theta -\eta \sum _{i=1}^m\frac{\partial J_i}{\partial \theta }\text{\hspace{1em}(9)}$$

在不使用L2正则化时，求导结果中$\theta$前系数为1，现在$\theta$前面系数为 $1-\eta \alpha$ ，因为η、$\alpha$都是正的，所以 $1-\eta \alpha$小于1，它的效果是减小$\theta$，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。

在岭回归中，规范化项是所有系数的平方和，称为L2-norm（L2范数）。在我们的模型中就是试图最小化RSS+λ(sumβj^2)。当λ增加时，系数会缩小，趋向于0但永远不会为0。岭回归的优点是可以提高预测准确度，但因为它不能使任何一个特征的系数为0，所以在模型解释性上会有些问题。为了解决这个问题，我们使用LASSO回归。

L1正则化(ℓ1 -norm)

使用L1正则化的模型建叫做Lasso Regularization(Lasso回归),直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的绝对值，$\eta$为正则化参数： 假设损失函数为$$J_0=\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-{\theta }_0-{\theta }_1{x}_1-{\theta }_2{x}_2-\cdots -{\theta }_n{x}_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$则Lasso Regularization为： $$J=J_0+\eta \sum _{i=1}^m|\theta |\text{\hspace{1em}(2)}$$ $J$ 是带有绝对值符号的函数，因此$J$是不完全可微的。当我们在原始损失函数$J_0$后添加$L_1$正则化项时，相当于对$J_0$做了一个约束。令$L_1=\eta {\sum }_{i=1}^m|\theta |$，则$J=J_0+L_1$，此时我们的任务变成在$L$约束下求出$J$取最小值时的$\theta$。$\eta$ 被称为正则化系数.

下面通过图像来说明如何在约束条件$L_1$下求$J$的最小值。 最终的损失函数就是求等高圆圈+黑色黑色矩形的和的最小值。由图可知等高圆圈+黑色矩形首次相交时，$J$取得最小值。 为什么$L_1$正则化项能够防止过拟合的情况？ 对损失函数的参数优化求解过程进行分析 $$\frac{\partial J}{\partial \theta }=\frac{\partial J_0}{\partial \theta }+\alpha sgn(\theta )\text{\hspace{1em}(3)}$$

上式中$sgn(\theta )$表示$\theta$的符号。那么权重$\theta$的更新规则为: $$\theta \to \theta -\eta \sum _{i=1}^m\frac{\partial J_i}{\partial \theta }-\eta \alpha sgn(\theta )\text{\hspace{1em}(4)}$$

比原始的更新规则多出了$\eta \alpha sgn(\theta )$这一项。当$\theta$为正时，更新后的$\theta$变小。当$\theta$为负时，更新后的$\theta$变大——因此它的效果就是让$\eta$往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

区别于岭回归中的L2-norm，LASSO回归使用L1-norm，即所有特征权重的绝对值之和，也就是要最小化RSS+λ(sum|βj|)。这个收缩惩罚项确实可以使特征权重收缩到0，相对于岭回归，这是一个明显的优势，因为可以极大地提高模型的解释性。如果LASSO这么好，那还要岭回归做什么？当存在高度共线性或高度两两相关的情况下，LASSO回归可能会将某个预测特征强制删除，这会损失模型的预测能力。举例来说，如果特征A和B都应该存在于模型之中，那么LASSO可能会将其中一个的系数缩减到0。可见岭回归与Lasso回归应该是互为补充的关系。

弹性网络

弹性网络的优势在于，它既能做到岭回归不能做的特征提取，又能实现LASSO不能做的特征分组。重申一下，LASSO倾向于在一组相关的特征中选择一个，忽略其他。弹性网络包含了一个混合参数α，它和λ同时起作用。α是一个0和1之间的数，λ和前面一样，用来调节惩罚项的大小。请注意，当α等于0时，弹性网络等价于岭回归；当α等于1时，弹性网络等价于LASSO。实质上，我们通过对β系数的二次项引入一个第二调优参数，将L1惩罚项和L2惩罚项混合在一起。通过最小化（RSS + λ[(1 - α)(sum|βj|^2)/2 + α(sum|βj|)]/N）完成目标。

逻辑回归的优缺点

优点

1、它是直接对分类可能性建模，无需事先假设数据分布，这样就避免了假设分布不准确问题。

2、它不仅预测类别，而且可以得到近似概率预测，这对许多概率辅助决策的任务很有用。

3、对率函数是任意阶可导凸函数，有很好的数学性质，现有许多的数值优化算法都可以直接用于求解。

缺点

对数据和场景的适应能力有局限性，不如决策树算法适应性那么强

sklearn.linear_model.LogisticRegression参数说明

官方英文文档

参数解释数值类型(默认值)选项penalty正则化选择参数。‘newton-cg’，‘sag’和’lbfgs’解算器只支持l2惩罚。版本0.19中的新功能：使用SAGA求解器的l1惩罚（允许’多项’+ L1）str (l1)‘l1’或’l2’，dual对偶方法只用在求解线性多核(liblinear)的L2惩罚项上。当样本数量>样本特征的时候，dual通常设置为False。bool (False)Ture/Falsesolversolver参数决定了我们对逻辑回归损失函数的优化方法str(liblinear)newton-cg;lbfgs;liblinear;sag;saga。multi_classmulti_class参数决定了我们分类方式的选择str(ovr)ovr;multinomialclass_weight用于标示分类模型中各种类型的权重，可以是一个字典或者’balanced’字符串，默认为不输入，也就是不考虑权重，即为None。如果选择输入的话，可以选择balanced让类库自己计算类型权重，或者自己输入各个类型的权重。举个例子，比如对于0,1的二元模型，我们可以定义class_weight={0:0.9,1:0.1}，这样类型0的权重为90%，而类型1的权重为10%。如果class_weight选择balanced，那么类库会根据训练样本量来计算权重。某种类型样本量越多，则权重越低，样本量越少，则权重越高。当class_weight为balanced时，类权重计算方法如下：n_samples / (n_classes * np.bincount(y))。n_samples为样本数，n_classes为类别数量，np.bincount(y)会输出每个类的样本数，例如y=[1,0,0,1,1],则np.bincount(y)=[2,3]。dict/str字典或者’balanced’字符串tol停止求解的标准Float(1e-4)c正则化系统λ的倒数Float(1.0)verbose日志冗长度int(0)warm_start热启动参数,如果为True，则下一次训练是以追加树的形式进行（重新使用上一次的调用作为初始化）。bool(False)Flase/Turen_jobs并行数,用CPU的一个内核运行程序，2的时候，用CPU的2个内核运行程序。为-1的时候，用所有CPU的内核运行程序。int(1)max_iter算法收敛最大迭代次数,仅在正则化优化算法为newton-cg, sag和lbfgs才有用，算法收敛的最大迭代次数。int(10)random_state随机数种子,仅在正则化优化算法为sag,liblinear时有用。Int(无)fit_intercept是否存在截距或偏差bool(Ture)False/Ture

具体参数详解

逻辑回归处理多分类问题

OvO(One vs One)

假设训练集有N类样本，$C_1,C_2,\cdots ,C_N$训练时两两组合为二分类进行训练，新样本通过这$C_N^2$个分类器后会得到$\frac{N(N-1)}{2}$个分类结果，最终结果可根据这些分类结果投票产生。

OvR(One vs Rest)

训练时一个类作为正例，其余所有类作为反例。这样共有$N$个二分类器进行训练，新样本通过分类器时预测结果为正例的即为最终结果。

MvM(Many vs Many)

MvM是每次将若干各类作为正例，剩下的若干个类作为反例，OvO和OvR其实是MvM的特殊情况。但是MvM的正反例构造必须有特殊的设计，不能随意选取。这里我们介绍一种最常用的MvM技术：“纠错输出码”（ECOC）

类别不平衡问题

逻辑回归面经

参考文献

逻辑回归原理小结 scikit-learn 逻辑回归类库使用小结 Logistic Regression（逻辑回归）原理及公式推导 机器学习算法–逻辑回归原理介绍 正则化方法